Մյոբիուսի ֆունկցիա

Մյոբիուսի ֆունկցիա, մուլտիպլիկատիվ թվաբանական ֆունկցիա, որը կիրառվում է թվերի տեսության մեջ և կոմբինատորիկայում։ Անվանվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Ավգուստ Մյոբիուսի պատվին, որը առաջին անգամ դիտարկել է այն 1831 թվականին։

ՍահմանումԽմբագրել

  որոշված է բոլոր   բնական թվերի համար, ընդունում է -1,0,1 արժեքները՝ կախված   թվի պարզ արտադրիչների վերլուծման բնույթից։

  •  , եթե  -ը ազատ է քառակուսուց(չի բաժանվում ոչ մի պարզ թվի քառակուսու վրա), իսկ պարզ արտադրիչների վերլուծությունում արտադրիչների քանակը զույգ է։
  •  , եթե  -ը ազատ է քառակուսուց, իսկ պարզ արտադրիչների վերլուծությունում արտադրիչների քանակը կենտ է։
  •  , եթե  -ը ազատ չէ քառակուսուց։

Ըստ սահմանման ընդունված է համարել  ։

ՀատկություններԽմբագրել

  • Մյոբիուսի ֆունկցիան մուլտիպլիկատիվ է՝ ցանկացած   և   փոխադարձ պարզ թվերի համար ճիշտ է   հավասարությունը։
  •   ամբողջ թվի բոլոր բաժանարարների Մյոբիուսի ֆունկցիայի արժեքների գումարը հավասար է 0-ի։
 

Սա հետևում է այն բանից, որ ցանկացած ոչ դատարկ վերջավոր բազմության կենտ էլեմենտներով ենթաբազմությունների քանակը հավասար է զույգ էլեմենտներով ենթաբազմությունների քանակին։

  •  
  •   որտեղ n -ը դրական ամբողջ թիվ է։
  •  
  • Մյոբիուսի ֆունկցիան սերտ կապված է Ռիմանի զետա ֆունկցիայի հետ։ Մյոբիուսի ֆունկցիայով են արտահայտվում Դիրիխլիեյի ֆունկցիայի շարքի գործակիցները, որոնք մուլտիպլիկատիվ հակադարձ են Ռիմանի զետա ֆունկցիային․
 .

Շարքը բացարձակ զուգամետ է   ուղղի վրա,   ուղղի վրա զուգամիտում է պայմանական,   միջակայքում պայմանական զուգամիտությունը համարժեք է Ռիմանի հիպոթեզին, իսկ   դեպքում շարքը չի զուգամետում։

Երբ   ճիշտ է նաև․

  •  
  •   որտեղ p — պարզ թիվ է։
  • Մյոբիուսի ֆունկցիան կապված է նաև Մերտենսի ֆունկցիայի հետ, որը կապված է Ռիմանի զետա ֆունկցիայի զրոյական կետերի հետ։
 
  • Ճշմարիտ են նաև․
  երբ  
 ,

Բազմության զրոների գծային խտությունը հավասար է  , իսկ միավորների խտությունը՝  ։

Մյոբիուսի հղումԽմբագրել

Մյոբիուսի հղման առաջին բանաձևԽմբագրել

Երկու թվաբանական   և   ֆունկցիաների համար

 

այն և միայն այն դեպքում, երբ

 ։

Մյոբիուսի հղման երկրորդ բանաձևըԽմբագրել

Երկու իրական   և   ֆունկցիաների համար, որոնք որոշված են   համար

 

այն և միայն այն դեպքում, երբ

 ։

Այստեղ   գումարը մեկնաբանվում է որպես  ։

Մյոբիուսի ընդհանրացված թեորեմըԽմբագրել

Դիցուք տրված է որոշակի կարգավորված բազմություն   հարաբերությամբ։ Համարենք, որ  ։

ՍահմանումԽմբագրել

Մյոբիուսի ընդհանրացված ֆունկցիան որոշվում է

  ռեկուրենտ առընչությամբ։

Հղման բանաձևըԽմբագրել

Դիցուք g և f ֆունկցիաները ընդունում են իրական արժեքներ   բազմության վրա և տեղի ունի   պայմանը։

Ապա  ։

Կապը Մյոբիուսի դասական ֆունկցիայի հետԽմբագրել

Եթե   բազմության փոխարեն դիտարկենք բնական թվերի բազմությունը, իսկ   հարաբերության փոխարեն   հարաբերությունը, ապա կստանանք  , որտեղ   - Մյոբիուսի դասական ֆունկցիան է։

Տես նաևԽմբագրել

Դիրիխլեյի բանաձևը

ԳրականությունԽմբագրել

  • Ի․ Մ․ Վինոգրադով, Թվերի տեսության հիմունքներ, 9-րդ հրատարակություն, Մ․1981։
  • Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: Мир, 1970. — 424 с.

Արտաքին հղումներԽմբագրել