Կլայն-Գորդոնի հավասարում

Կլայն-Գորդոնի հավասարում (երբեմն՝ Կլայն-Ֆոկ-Գորդոնի հավասարում կամ Կլայն-Գորդոն-Ֆոկի հավասարում,Կլայն-Ֆոկի հավասարում[1][2]), Շրյոդինգերի հավասարման ռելյատիվիստական տարբերակը։

,

Կամ, բնական միավորներով (որտեղ

,

որտեղ դ’Ալամբերի օպերատորն է։

Կլայն-Գորդոնի հավասարումը կիրառվում է զանգված ունեցող (հանգստի զանգված) արագ շարժվող մասնիկների համար։ Կիրառելի է սկալյար զանգվածեղ դաշտերի դեպքում։ Կարող է ընդհանրացվել ամբողջ և կիսաամբողջ սպիներով մասնիկների համար[3]։ Բացի այդ, պարզ է, որ այս հավասարումը ալիքային հավասարման ընդհանրացումն է՝ պիտանի զանգված չունեցող սկալյար և վեկտրական դաշտերի նկարագրման համար։

Կլայն-Գորդոնի հավասարումով նկարագրվող մեխանիկական համակարգերը (իրական կամ երևակայական) կարող են լինել ալիքային հավասարումով նկարագրվող համակարգերի ձևափոխություններ, օրինակ.

  • Միաչափ դեպքում՝ առաձգական (Հուկի) տակդիրին ամրացված ձգված ծանր լար։
  • Մակրոսկոպիկորեն իզոտրոպ բյուրեղ, որի յուրաքանչյուր ատոմը գտնվում է, բացի հարևան ատոմների հետ կապից, նաև տարածության մեջ ֆիքսված քառակուսի պոտենցիալ փոսում։
  • Իրական բյուրեղների դեպքում ավելի իրատեսական է դիտարկել լայնական տատանումների մոդերը, որոնց դեպքում, օրինակ, ատոմների հարևան շերտերը տատանվում են հակափուլով։ Այդպիսի մոդերը (գծային մոտավորությամբ) ենթարկվում են Կլայն-Գորդոնի երկչափ հավասարմանը, որտեղ կոորդինատները շերտերի հարթությունում են։

Հավասարումը, որտեղ վերջին («զանգվածեղ») անդամն ունի սովորականին հակառակ նշան, տեսական ֆիզիկայում նկարագրում է տախիոն։ Հավասարման այսպիսի տարբերակը թույլ է տալիս պարզա մեխանիկական իրագործում։

Կլայն-Գորդոնի հավասարումն ազատ մասնիկի համար (վերը բերված դեպքը) պարզ լուծում ունի սինուսոիդային հարթ ալիքների տեսքով։

  • Դիտողություն. Տարածական ածանցյալները տեղադրելով զրո (ինչը քվանտային մեխանիկայում համապատասխանում է մասնիկի զրո իմպուլսին), Կլայն-Գորդոնի սովորական հավասարման համար կունենանք հաճախությամբ հարմոնիկ տատանակ, ինչը համապատասխանում է մասնիկի զանգվածով որոշվող, հանգստի ոչ զրոյական էներգիային։ Հավասարման տախիոնային տարբերակն այդ դեպքում կայուն չէ, իսկ լուծումն ընդհանուր դեպքում ներառում է անսահմանափակ աճող էքսպոնենտ։

ՊատմությունԽմբագրել

Կլայն-Գորդոնի հավասարումը սկզբում, մինչև իր ոչ ռելյատիվիստական հավասարումը գրելը, գրել է Էրվին Շրյոդինգերը։ Շրյոդինգերը հրաժարվում է այդ հավասարումից, քանի որ չի կարողանում էլեկտրոնի սպինը ընդգրկել դրա մեջ ։ Պարզեցնելով Կլայն-Գորդոնի հավասարումը՝ Շրյոդինգերը գրում է «իր» հավասարումը։

1926 թ., Շրյոդինգերի հավասարման հրապարակումից հետո, Ֆոկը[4][5] հոդված է գրում մագնիսական դաշտերի դեպքում դրա ընդհանրացման մասին, որտեղ ուժերը կախված են արագությունից, և Շրյոդինգերից անկախ արտածում է այդ հավասարումը։ Ե՛վ Օսկար Կլայնը[6] (նրա աշխատանքը ավելի շուտ է ստեղծվել, բայց հրատարակվել է Ֆոկի հոդվածից հետո), և՛ Վլադիմիր Ֆոկը կիրառել են Կալուցի-Կլայնի մեթոդը։ Ֆոկը նաև ներմուծել է տրամաչափային տեսություն ալիքային հավասարման համար։

Գորդոնի հոդվածը (1926 թ. վերջին) նվիրված էր Քոմփթոնի էֆեկտին[7]։

ԱրտածումԽմբագրել

Ազատ մասնիկի էներգիայի ոչ ռելյատիվիստական հավասարումը հետևյալն է՝

 ։

Քվանտացնելով սա, ստանում ենք Շրյոդինգերի ոչ ռելյատիվիստական հավասարումն ազատ մասնիկի համար՝

 ,

որտեղ

 

մեծությունը իմպուլսի օպերատորն է, -ով նշանակված է նաբլա օպերատորը, իսկ

 

իսկ էներգիայի օպերատորն է։

Շրյադինդերի հավասարումը ռելյատիվիստիկորեն կովարիանտ չէ, այսինքն՝ այն հաշվի չի առնում Այնշտայնի հատուկ հարաբերականությունը։

Էներգիան հատուկ հարաբերականությունից՝

 

Կիրառելով դա և տեղադրելով իմպուլսի և էներգիայի քվանտամեխանիկական օպերատորները, կստանանք

 

հավասարումը։

Այս արտահայտության հետ աշխատելը աննպատակահարմար է արմատի առկայության պատճառով։ Ուստի Կլայնը և Գորդոնը գործածել են քառակուսի բարձրացրած մեծությունը՝

 ,

որը, քվանտացվելով, տալիս է

 ։

Վերջինս հնարավոր է պարզեցնել՝

 ։

Վերախմբավորելով անդամները՝ ստանում ենք

 ։

Այս հավասարումը հնարավոր է կիրառել ինչպես իրական, այնպես էլ՝ կեղծ արժեքներով դաշտերի համար։

Կիրառելով Մինկովսկու մետրիկական ինվերսիան diag(−c2, 1, 1, 1), ստանում ենք

 

կովարիանտ նշանակումներով։ Սա հաճախ կրճատ գրվում է որպես

 

որտեղ

 

և

 ։

Սա կոչվում է դ'Ալամբերի օպերատոր։

Այս ձևով այն այսօր մեկնաբանվում է որպես ռելյատիվիստական դաշտի հավասարում 0 սպինով մասնիկների համար։ Ավելին, Դիրակի հավասարման ցանկացած լուծում (կիսաամբողջ սպինով մասնիկների համար) ինքնաբերաբար Կլայն-Գորդոնի հավասարման լուծում է հանդիսանում, չնայած Կլայն-Գորդոնի հավասարման ոչ բոլոր լուծումներն են Դիրակի հավասարման լուծում։ Պետք է նշել, որ Կլայն-Գորդոնի հավասարումը շատ նման է Պրոկի հավասարմանը։

Կլայն-Գորդոնի հավասարումը պոտենցիալային դաշտի համարԽմբագրել

Կլայն-Գորդոնի հավասարումը կարելի է ընդհանրացնել՝ նկարագրելով որևէ V(ψ) պոտենցիալով դաշտը որպես[8]

 ։

Կլայն-Գորդոնի հավասարման լուծումն ազատ մասնիկի համարԽմբագրել

Ազատ մասնիկի համար Կլայն-Գորդոնի

 

հավասարման լուծումը կարելի է փնտրել, ինչպես հաստատուն գործակիցներով ցանկացած գծային դիֆերենցիալ հավասարման համար հարթ ալիքների վերադրման (այսինքն՝ ցանկացած վերջավոր կամ անվերջ գծային կոմբինացիայի) տեսքով՝

 

այդպիսի ամեն ալիք տեղադրելով հավասարման մեջ, ստանում ենք պայման  -ի և  -ի համար.

 ։

Ինչպես հեշտ է նկատել, հարթ ալիքը նկարագրում է որոշակի էներգիայիով և իմպուլսով մաքուր վիճակ (այսինքն, համապատասխան օպերատորների սեփական ֆունկցիա է)։ Էներգիան և իմպուլսը (այսինքն, այդ օպերատորների սեփական արժեքները), կարելի է հաշվել, ինչպես ոչ ռելյատիվիստական մասնիկի համար.

 
 ։

Գտնված   և   առնչությունը այդ դեպքում նորից տալիս է ոչ զրոյական զանգվածով ռելյատիվիստական մասնիկի էներգիայի և իմպուլսի միջև կապի հավասարումը.

 ։

Ընդ որում պարզ է, որ միջին մեծությունների համար առնչությունը կիրակականա ոչ միայն որոշակի էներգիայով և իմպուլսով վիճակների համար, այլև նրանց ցանկացած վերադրման, այսինքն Կլայն-Գորդոնի հավասարման ցանկացած լուծման համար (ինչը, մասնավորապես, ապահովում է այդ առնչության իրականացումը դասական սահմանում)։

Զանգված չունեցող մասնիկների համար կարող ենք վերջին հավասարման մեջ տեղադրել  ։ Այդ դեպքում զանգված չունեցող մասնիկների համար կստանանք դիսպերսիայի օրենքը (էներգիայի և իմպուլսի առնչությունը)

 

տեսքով։ Կիրառելով խմբային արագության   բանաձևը դժվար չէ ստանալ էներգիան և իմպուլսը արագության հետ կապող սովորական ռելյատիվիստական բանաձևեր. սկզբունքորեն այդ նույն արդյունքին կարելի է հասնել՝ պարզապես հաշվելով համիլտոնյանի կոմուտատորը կոորդինատի հետ, բայց Կլայն-Գորդոնի դեպքում բախվում ենք համիլտոնյանը բացահայտ տեսքով գրելու դժվարությանը (ակնհայտ է միայն համիլտոնյանի քառակուսին)։

ԳործողությունԽմբագրել

Կլայն-Գորդոնի հավասարումը հնարավոր է ներկայացնել վարիացիաների եղանակով՝ գործողությունը ներկայացնելով որպես

 ,

որտեղ ψ-ն Կլայն-Գորդոնի դաշտն է, m-ը՝ դրա զանգվածը։ ψկոմպլեքս համալուծը   է։ Եթե սկալյար դաշտը իրական արժեքով է ընտրվում, ապա  ։ Կիրառելով հիլբերտյան էներգիայի և իմպուլսի թենզորը Լագրանժյան խտության (ինտեգրալի մեծությունը) հանդեպ, կարող ենք արտածել սկալյար դաշտի էներգիայի և իմպուլսի թենզորը։ Այն կլինի

 ։

Էլեկտրամագնիսական փոխազդեցությունԽմբագրել

Տրամաչափային ինվարիանտի ճանապարհով որևէ դաշտ էլեկտրամագնիսականության հետ փոխազդեցության մեջ դնելու համար պետք է ածանցյալի օպերատորները փոխարինել տրամաչափային կովարիանտ ածանցյալի օպերատորներով։ Այս դեպքում Կլայն-Գորդոնի հավասարումը կդառնա

 

բնական միավորներով, որտեղ A-ն վեկտորական պոտենցիալն է։ Հնարավոր է ավելացնել ավելի բարձր կարգով անդամներ, օրինակ

 ։

Այս անդամները 3+1 չափողականություններում չեն վերանորմավորվում։

Դաշտի հավասարումը լիցքավորված սկալյար դաշտի համար բազմապատկվում է i-ով, ինչը նշանակում է, որ դաշտը կոմպլեքս է։ Լիցքավորված լինելու համար դաշտը պետք է ունենա երկու բաղադրիչներ՝ իրական և կեղծ մասեր, որոնք շրջելի են մեկը մյուսի հանդեպ։

Լիցքավորված սկալյարի համար գործողությունը չլիցքավորված սկալյարի կովարիանտ տարբերակն է՝

 ։

Գրավիտացիոն փոխազդեցությունԽմբագրել

Ընդհանուր հարաբերականության մեջ ներառելով գրավիտացիայի էֆեկտը՝ Կլայն-Գորդոնի հավասարման համար կունենանք (մետրիկ սիգնատուրով)[9]

 

կամ դրա համարժեքը՝

 ,

որտեղ gαβմետրիկ թենզորի ինվերսիան է, այսինքն՝ գրավիտացիոն պոտենցիալ դաշտը, g-ն մետրիկ թենզորի դետերմինանտն է, μկովարիանտ ածանցյալն է, Γσμν-ն՝ Քրիստոֆելի սիմվոլը, այսինքն՝ գրավիտացիոն ուժային դաշտը։

Տես նաևԽմբագրել

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Ю.Н. Демков. Развитие теории электронно-атомных столкновений в Ленинградском университете
  2. Л. Д. Фаддеев. Новая жизнь полной интегрируемости // УФН, 2013, май (том 183, № 5), с. 490
  3. см. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. - "Введение в теорию квантованных полей" §§ 4,6
  4. Vladimir Fock ; Zeitschrift für Physik 38 (1926) 242
  5. Vladimir Fock ; Zeitschrift für Physik 39 (1926) 226
  6. Klein, O. 1926. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie. Zeitschrift für Physik 37:895–906.
  7. «W.Gordon, "Эффект Комптона в теории Шредингера.", 1926»։ Արխիվացված է օրիգինալից 2015-01-02-ին։ Վերցված է 2015-04-04 
  8. David Tong, Lectures on Quantum Field Theory, Lecture 1, Section 1.1.1
  9. S.A. Fulling, Aspects of Quantum Field Theory in Curved Space–Time, Cambridge University Press, 1996, p. 117

Արտաքին հղումներԽմբագրել