Լագրանժի թեորեմը չորս քառակուսիների գումարի մասին

Լագրանժի չորս քառակուսիների գումարի մասին թեորեմը պնդում է, որ

Ցանկացած բնական թիվ կարելի ներկայացնել չորս ամբողջ թվերի քառակուսիների գումարի տեսքով: Ժոզեֆ Լուի Լագրանժ, 1770

Թեորեմի ապացույցը իրենից ներկայացնում է ալգորիթմ, որը թույլ է տալիս գտնել $N$ թվի համար նման ներկայացման ձև $O(N^{2}log_{2}{N})$:

Թեորեմը հանդիսանում է Վարինգի խնդրի լուծումը $n=2$ աստիճանի համար։ Քանի որ այս տեսքի թվերը $4^{m}(8n+7),\;m,\;n=0,\;1,\;2,\;\ldots$ չեն կարող ներկայացվել երեք քառակուսիների գումարով, ապա Լագրանժի թեորեմը տալիս է Հարդիի ֆունկցիայի երկու արժեքներից մեկը $G(2)=4$:

Օրինակներ

${\begin{aligned}3&=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2}\\31&=5^{2}+2^{2}+1^{2}+1^{2}\\310&=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2}.\end{aligned}}$

Պատմություն

Թեորեմի պնդումն առաջին անգամ հայտնվել է Դիոֆանտի Թվաբանության մեջ, որը թարգմանվել էր լատիներեն Բաշեի կողմից 1621 թվականին։ Թեորեմի համար կարևոր լեմման այն մասին, որ չորս քառակուսիների գումարի արտադրյալը դա չորս քառակուսիների գումարն է ապացուցել է Էյլերը, ով մոտ էր հենց թեորեմի ապացույցին շատ բաներ է արել հատուկ Լագրանժի համար։ Սակայն Լագրանժը Էյլերից առաջ անցավ և ապացուցեց թեորեմը 1770 թվականին։