Թվի քառակուսի

Թվի քառակուսի (հանրահաշիվ), հանրահաշվայկան գործողություն $x$ թվի հետ, որը հավասար է թվի ու իր արտադրյալին $x\cdot x$, և գրառվում է $x^{2}$ձևով։ $x^{2}$-ու հաշվումը մաթեմատիկական գործողություն է, որը կոչվում է քառակուսի բարձրացնել։

y = x² ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլ է։

y=x² ֆունկցիայի գրաֆիկն է 0-ից 25 ամբողջ թվերի հատվածում ։

5 թվի քառակուսին հավասար է այն քառակուսու մակերեսին, որի կողմը հավսար է 5-ի։

Ամբողջ, ոչ բացասական թվերի քառակուսիներ շարքը (A000290-ի հաջորդականությունը OEIS-ում)

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, …

Պատմականորեն այս շարքի բնական թվերը կոչվում են «քառակուսի» թվեր։

Ներկայացման ձևեր

Բնական $n$ թվի քառակուսին կարելի է ներկայացնել առաջին $n$ կենտ թվերի արտադրյալի տեսքով։

1: $1=1$

2: $4=1+3$

…

7: $49=1+3+5+7+9+11+13$

…

Ահա բնական թվի քառակուսին ներկայացնելու ևս մեկ ձև։

$n^{2}=1+1+2+2+\ldots +(n-1)+(n-1)+n$

Օրինակ․

1: $1=1$

2: $4=1+1+2$

…

4: $16=1+1+2+2+3+3+4$

…

Առաջին $n$ բնական թվերի քառակուսին հաշվվում է հետևյալ բանաձևով։

$\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Դուրսբերում․ Ձև 1․

Դիտարկենք 1-ից $n+1$բնական թվերի խորանարդների գումարը։

$\sum _{k=1}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=\sum _{k=0}^{n}(k+1)^{3}=\sum _{k=0}^{n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=\sum _{k=0}^{n}k^{3}+\sum _{k=0}^{n}3k^{2}+\sum _{k=0}^{n}3k+\sum _{k=0}^{n}1=\sum _{k=0}^{n}k^{3}+3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1$

Կստանանք․

$(n+1)^{3}=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3{\frac {(n+1)n}{2}}+(n+1)$

Բազմապատկենք 2-ով և խմբավորենք։

$6\sum _{k=0}^{n}k^{2}=2(n+1)^{3}-3(n+1)n-2(n+1)=(n+1)(2(n+1)^{2}-3n-2)=(n+1)(2n^{2}+n)=n(n+1)(2n+1)$

$\sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$       (Պնդումներում օգտագործվում է հետևյալ բանաձևը։ $\sum _{k=0}^{n}k={\frac {(n+1)n}{2}}$, որի դուրսբերումը նման է արդեն դուրսբերվածին։)

Դուրսբերում․ Ձև 2․

Անհայտ գործակիցների մեթոդ․

Նկատենք, որ $N$ աստիճանի ֆունկցիայի գումարը արտահայտված է ինչպես $N+1$աստիճանի ֆունկցիա։

$\sum _{k=0}^{n}k^{2}=f(n)=An^{3}+Bn^{2}+Cn+D$

$f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14$

Կստանանք գծային հավասարումների համակարգ փնտրվող գործակիցների նկատմամբ։

${\begin{cases}0A+0B+0C+D=0\\A+B+C+D=1\\8A+4B+2C+D=5\\27A+9B+3C+D=14\\\end{cases}}$

Լուծելով կստանանք․ $A={\frac {1}{3}},B={\frac {1}{2}},C={\frac {1}{6}},D=0$

Այսպիսով․

$\sum _{k=0}^{n}k^{2}=f(n)={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n+0={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Կոմպլեքս թվի քառակուսի

Կոմպլեք թվի հանրահաշվական տեսքի քառակուսին կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևերով։

$\left(a+bi\right)^{2}=\left(a^{2}-b^{2}\right)+2abi.$

Նմանատիպ եռանկյունաչափական բանաձև կոմպլեքս թվի համար։

$\left(r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)\right)^{2}=r^{2}\left(\cos {2\phi }+i\sin {2\phi }\right).$

Երկրաչափական իմաստ

Թվի քառակուսին հավասար է այն քառակուսու մակերեսին, որի կողմը հավասար է տրված թվին։

Գրականություն

• Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. — Конкретная математика. Основание информатики. Пер. с англ. —М.: Мир, 1998. —703 с.

Տես նաև

• Քառակուսի արմատի հաշվումը քառակուսի բարձրացնելու հակառակ ֆունկցիան է։
• Թվի խորոնարդ
• Ավելի բարձր աստիճանների ընդհանրացում