Գծային հավասարումների համակարգ
Գծային հավասարումների համակարգ, հավասարումների համակարգ է, որոնցից յուրաքանչյուրը իրենից ներկայացնում է առաջին աստիճանի գծային հանրահաշվական հավասարում։
Դասական տարբերակում բոլոր գործակիցները, ազատ անդամները և անհայտները համարվում են բնական թվեր, բայց բոլոր ձևերն ու արդյունքները պահպանվում են ցանկացած դաշտերի համար օրինակ (կոմպլեքս թվերի)։
Գծային համակարգերի լուծումը գծային հանրահաշվի դասական խնդիրներից մեկն է, որը հիմնականում որոշում է նրա օբյեկտներն ու մեթոդները։ Գծային համակարգերի լուծումը կարևոր դեր է խաղում շատ թեքումային ուղղություններում, այդ թվում գծային ծրագրավորման մեջ։
Սահմանումներ
խմբագրելԳծային հավասարումների համակարգի ընդհանուր տեսքը․
Որտեղ՝ — հավասարումների քանակն է, —փոփոխականների քանակը, — անհայտներն են, որ պիտի որոշել, գործակիցներն են, ազատ անդամները։ Գծային հավասարումների համակարգի գործակիցների ( ) ինդեկսները կազմվում են հետևյալ պայմանով՝ առաջինը ( ) հավասարման համարն է, երկրորդը ( ) — փոփոխականի համարն է, որից առաջ այն գտնվում է[1].
Համակարգը կոչվում են համասեռ, եթե նրա ազատ անդամները հավասար են զրոյի ( ), այլապես — ոչ համասեռ։
Գծային հավասարումների համակարգը կոչվում է քառակուսային , եթե հավասարումների քանակը հավասար է անհայտների քանակին ( ). Համակարգը, որի անհայտների թիվը ավելին է քան հավասարումներինը, կոչվում է ուղղանկյուն համակարգ։
Համակարգի լուծումների թվերի բազմությունը, որը հանդիսանում է համակարգի լուծում, փոփոխականներում տեղադրելու դեպքում հավասարումը վերածում է նույնության։
Համակարգը կոչվում է միասնական, եթե նա ունի գոնե մեկ լուծում, և ոչ միասնական, եթե նա չունի ոչ մի լուծում։
Մատրիցային ձև
խմբագրելՀամակարգը կարելի է ներկայացնել մատրիցի տեսքով․
կամ
- .
Այստեղ -ն համակարգի մատրիցն է, -ը անհայտների սյունակը, իսկ -ն ազատ անդամների սյունակն է։ Եթե մատրիցին աջից ավելացնել ազատ անդամների սյունակը, ապա ստացված մատրիցը կոչվում է ընդլայնված։
Գծային հավասարումների համարժեք համակարգեր
խմբագրելհավասարումների համակարգերը կոչվում են համարժեք, եթե նրանց լուծումները համընկնում են։ Լուծում չունեցող համակարգերը նույնպես համարժեք են։
Համակարգին համարժեք համակարգ կարելի է ստանալ, տրված համակարգի հավասարումներից մեկը բազմապատկենք կամ բաժանենք նույն թվի վրա։
տեսքի հավասարումների համակարգը համարժեք է ։
Լուծման ձևերը
խմբագրելՈւղղակի մեթոդները տալիս են այնպիսի ալգորիթմ, որի օգնությամբ կարելի է գտնել համակարգերի ճշգրիտ լուծումները։
Որոշ ուղղակի մեթոդներ․
- Գաուսի մեթոդը
- Գաուս-Ջորդանի մեթոդներ
- Կրամերի մեթոդը
- Պտտման մեթոդ[2]
Կախված մոտեցումներից, մեթոդները բաժանվում են մի քանի տեսակի․
- Մասնատման ձևով։
- Զանազանման ձևով։
- Պրոյեկցիոն ձևով ։
Ծանոթագրություններ
խմբագրել- ↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: Физматлит, 2004. — 280 с.
- ↑ Вержбицкий В. М. Основы численных методов. — М.: Высшая школа, 2009. — С. 80—84. — 840 с. — ISBN 9785060061239
Արտաքին հղումներ
խմբագրել- Куксенко С. П., Газизов Т. Р. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений с плотной матрицей. — Томск: Томский государственный университет, 2007. — 208 с. — ISBN 5-94621-226-5