Գալիլեյի պարադոքս

Գալիլեյի պարադոքս, օրինակ՝ նկարազարդելով անսահման բազմազանության հատկությունները։ Մի խոսքով, կան նույնքան բնական թվեր, որքան կան բնական թվերի քառակուսիներ, այսինքն ՝ 1, 2, 3, 4-ում ... նույնքան տարրեր, որքան ՝ 1, 4, 9, 16...

Իր վերջին աշխատություններում՝ «Երկու գիտություն», Գալիլեո Գալիլեյը երկու հակասական դատողություններ է արել բնական թվերի մասին։ Առաջինը, որոշ թվեր ճշգրիտ քառակուսիներ են (այսինքն, այլ ամբողջ թվերի քառակուսիները), իսկ մյուս թվերը նման հատկանիշով օժտված չեն։ Այսպիսով ճշգրիտ քառակուսիներ և սովորական թվեր միասին պետք է լինեն ավելին, քան պարզապես ճշգրիտ քառակուսիները։ Երկրորդ դատողությունը. յուրաքանչյուր բնական թվիի համար կա իր ճշգրիտ քառակուսի արմատը և հակառակը`յուրաքանչյուր ճշգրիտ քառակուսիի համար կա մի ամբողջ քառակուսի արմատ, ուստի պետք է լինեն նույն քանակությամբ ճշգրիտ քառակուսիներ և բնական թվեր։

Գալիլեյը եզրակացրել է, որ նույն քանակի տարրերի մասին կարելի է դատել միայն վերջավորությունների համար 19-րդ դարում Գեորգ Կանտորը, օգտագործելով իր բազմազանության տեսությունը, ցույց է տվել, որ կարող եք ներկայացնել «տարրերի քանակը» անսահման շարքների համար `այսպես կոչված բազմության հզորություն։ Ավելին, բնական թվերի հավաքածուի և ճշգրիտ քառակուսիների հավաքածուի կարդինալները համընկնում էին (Գալիլեոյի երկրորդ հիմնավորումը պարզվեց, որ իրական է)։ Գալիլեոյի պարադոքսը հակասության մեջ է մտել Էվկլիդեսի աքսիոմի հետ, որում ասվում է, որ ամբողջը ավելի մեծ է, քան իր ցանկացած մասերը (սեփական մասի տակ հասկացվում է այն մասը, որը չի համընկնում ամբողջի հետ)։ Հատկանշական է, թե որքանով էր Գալիլեոն կանխատեսում հետագա աշխատանքը անսահման թվերի ոլորտում։ Նա ցույց տվեց, որ ուղիղ գծի կարճ հատվածի վրա միավորների քանակը հավասար է ավելի մեծ հատվածի կետերի քանակին, բայց, իհարկե, նա չգիտեր Կանտորի ապացույցը, որ դրա կարդինալությունը ավելի մեծ է, քան ամբողջների ամբողջության կարդինալությունը։ Գալիլեոն ավելի հրատապ խնդիրներ ուներ։ Նա լուծեց Զենոն Էլեացիի պարադոքսներում առկա հակասությունները `ճանապարհը մաքրելով իր մաթեմատիկական շարժման տեսության համար։