Մաթեմատիկայի մեջ իրական թվի ամբողջ մասը –ի կլորացումն է մինչև մոտակա ամբողջը, դեպի փոքր կողմը։ Թվի ամբողջ մասը կոչվում է նաև անտյե (ֆր.՝ entier), կամ հատակ (անգլ.՝ floor)։ Հատակի հետ զուգահեռ գոյություն ունի զույգ ֆունկցիա՝ առաստաղ (անգլ.՝ ceiling), կլորացում մինչև մոտակա ամբողջը՝ դեպի մեծ կողմը։

«Հատակ» ֆունկցիայի գրաֆիկ (թվերի ամբողջ մաս)
«Առաստաղ» ֆունկցիայի գրաֆիկ

Նշանակությունն ու օրինակներԽմբագրել

  թվի ամբողջ մասի նշանակման համար ( ) քառակուսի փակագծերը առաջին անգամ օգտագործել է Գաուսը 1808 թվականին՝ քառակուսային փոխադարձության օրենքի իր ապացույցում[1]։ Այդ նշանակումը համարվում էր ստանդարտ[2], մինչև Կենեթ Այվերսոնը իր «A Programming Language» գրքում, որը հրատարակվել էր 1962 թվականին, չառաջարկեց[3][4][5]   թվի կլորացումը մինչև մոտակա ամբողջը փոքր և մեծ կողմերով անվանել «հատակ» и «առաստաղ»   և համապատասխանաբար նշանակել   և   ։ Ժամանակակից մաթեմատիկայում օգտագործվում են երկու նշանակումներն էլ[6],   և  , սակայն գոյություն ունի անցման տենդենց դեպի տերմինալոգիա և Այվերսոնի նշանակումներ։ Դրա պատճառներից մեկը «թվի ամբողջ մաս» հասկացության պոտենցիալ անորոշությունն է[5]։ Օրինակ՝ 2,7 թվի ամբողջ մասը հավասար է 2, բայց հնարավոր է երկու կարծիք այն հարցում, թե ինչպես որոշել −2,7 թվի ամբողջ մասը։ Համաձայն այս հոդվածում տրված սահմանման  , սակայն որոշ հաշվիչների վրա գոյություն ունի թվի ամբողջ մասի INT ֆունկցիա, բացասական թվերի համար որոշվող ինչպես INT(-x) = -INT(x), այնպես որ INT(-2,7) = −2։ Այվերսոնի տերմինալոգիայում բացակայում են հնարավոր անորոշությունները․

 

ՍահմանումԽմբագրել

  հատակ ֆունկցիան սահմանվում է ինչպես ամենամեծ ամբողջ, փոքր կամ հավասար  

 

  առաստաղ ֆունկցիան սահմանվում է ինչպես ամենափոքր ամբողջ, մեծ կամ հավասար  

 

Այդ սահմանումները էկվիվալենտ են հետևյալ անհավասարություններին (որտեղ n–ը ամբողջ թիվ է)․[7]

 

ՀատկություններԽմբագրել

Ներքևում գրված բանաձևերում   և   տառերով նշանակված են իրական թվերը, իսկ   և   տառերով՝ ամբողջները։ 

Հատակն ու առաստաղը ինչպես իրական փոփոխականով ֆունկցիաներԽմբագրել

Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաները իրական թվերի բազմությունը արտապատկերում են ամբողջ թվերի բազմության մեջ․

 

Հատակն ու առաստաղը մասամբ անընդհատ ֆունկցիաներ են։

Հատակն ու առաստաղը խզումով ֆունկցիաներ են․ բոլոր ամբողջաթվային կետերում տեղի է ունենում առաջի սեռի խզումներ միավորի հավասար թռիչքով։

Այդ դեպքում հատակ ֆունկցիան հանդիսանում է․

  • Կիսաանընդհատ վերևից և
  • Անընդհատ աջից

Առաստաղ ֆունկցիան հանդիսանում է․

  • Կիսաանընդատ ներքևից և
  • Անընդհատ ձախից

Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաների կապըԽմբագրել

  կամայական թվի համար ճիշտ է[8]

  անհավասարությունը։

  ամբողջ թվի համար հատակն ու առաստաղը համընկնում են․

 

Եթե   ամբողջ չէ, ապա առաստաղ ֆունցիայի արժեքը միավորով մեծ է հատակ ֆունկցիայի արժեքից․

 

Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաները հանդիսանում են երկու առանցքներից մեկը մյուսի արտապատկերումները։

 

Հատակ/առաստաղ՝ անհավասարությունԽմբագրել

Իրական և ամբողջ թվերի միջև ցանկացած անհավասարություն հավասարազոր է իրական թվերի միջև հատակի և առաստաղի անհավասարությանը [7]

 

Վերևի երկու անհավասարությունը հանդիսանում են հատակի և առաստաղի սահմանումների անմիջական հետևանքները, իսկ ներքևի երկուսը՝ վերևինների վերածումն է հակդարձից։

Հատակ/առաստաղ ֆունկցիաները հանդիսանում են մոնոտոն աճող ֆունկցիաներ․

 

Հատակ/առաստաղ՝ գումարումԽմբագրել

Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка [9]:

 

Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:

 

Հատակը/առաստաղը ֆունկցիայի նշանի տակԽմբագրել

Տեղի ունի հետևյալ առաջարկությունը․ [10]

Թող   –ը լինի անընդհատ մոնոտոն աճող ֆունկցիա, որոշված որոշակի շրջակայքում, օժտված

  հատկությամբ։

Այդ դեպքում՝

 

ամեն անգամ, երբ որոշված են  ։

Մասնավորապես,

 

եթե   և    ամբողջ թվեր են և  ։

Հատակ/առաստաղ՝ գումարներԽմբագրել

Եթե   ամբողջ թվեր են,  , ապա [11]

 

Ընդհանրապես, եթե   կամայական իրական թիվ է, իսկ  ՝ ամբողջ դրական, ապա 

 

Տեղի ունի առավել ընդհանուր հարաբերություն [12]

 

Քանի որ այդ հավասարության աջ մասը սիմետրիկ է   և   նկատմամբ, ապա ճշմարիտ է հետևյալ փոխադարձության օրենքը

 

Շարքով տրումըԽմբագրել

Անտյե ֆունկցիան Հևիսայդի ֆունկցիայի օգնությամբ տրիվյալ ձևով ներկայացվում է շարքով․

 

որտեղ շարքի յուրաքանչյուր մաս առաջացնում է ֆունկցիայի ինքնատիպ աստիճաններ։ Այդ շարքը բացարձակ համընկնում է, սակայն իր մասերի սխալ ձևափոխումը կարող է բերել «պարզեցված» շարքի

 

որը տրոհվում է։

ԿիրառությունԽմբագրել

Հատակ/առաստաղ ամբողջաթվային ֆունկցիաները լայն կիրառում ունեն դիսկրետ մաթեմատիկայում և թվերի տեսության մեջ։ Ներքևում բերված են այդ ֆունկցիաների կիրառության որոշ օրինակներ։

Թվի գրառման մեջ թվանշանների քանակըԽմբագրել

Դրական ամբողջ թվի գրառման մեջ թվանշանների թիվը b հիմքով համրանքի դիրքային համակարգում հավասար է [13]

 

ԿլորացումԽմբագրել

  մոտակա ամբողջ թիվը կարող է որոշվել

  բանաձևով։

mod բինար գործողությունԽմբագրել

«Մոդուլով մնացորդ» գործողությունը նշանակենք Չհաջողվեց վերլուծել (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. TeX parse error: Extra close brace or missing open brace"): {\displaystyle \mod } , հատակ ֆունկցիայի միջոցով կարող է որոշվել հետևյալ կերպ։ Եթե    կամայական իրական թվեր են և  , ապա  –ը  –ի վրա բաժանելիս թերի մասնավորը հավասար է

 ,

իսկ մնացորդը՝

 

Կոտորակային մասԽմբագրել

  իրական թվի կոտորակային մասն ըստ սահմանման հավասար է

 

Միջակայքի ամբողջ թվերի քանակըԽմբագրել

Պահանջվում է գտնել   և   ծայրակետերով փակ միջակայքում ամբողջ կետերի քանակը, այսինքն   ամբողջ թվերի քանակը, որոնք բավարարում են

  անհավասարությանը:

Հատակի/առաստաղի հատկությունների համաձայն այդ անհավասարությունը համարժեք է

 :

Դա հանդիսանում է   և   ծայրակետերով փակ միջակայքի կետերի թիվը, հավասար՝  : Անալոգ ձևով կարելի է հաշվել այլ տիպի միջակայքերի ամբողջ կետերի քանակը: Արդյունքների հատումը բերված է ներքևում. [14].

 
 
 
 

(  -ով նշանակված է   բազմության հզորությունը):

Առաջին երեք արդյունքները ճշմարիտ են բոլոր   համար, իսկ չորորդը՝ միայն   դեպքում:

Սպեկտրի մասին Ռելեի թեորեմըԽմբագրել

Թող   և   լինեն իռացիոնալ դրական թվեր լինեն, կապված [15]

  հարաբերությամբ:

Այդ դեպքում թվերի շարքում

 

յուրաքանչյուր բնական   ճշտությամբ հանդիպում է մեկ անգամ: Այլ խոսքերով՝

  և   հաջորդականությունները, որոնք կոչվում են

Բեթիի հաջորդականություն, կազմում են բնական շարքի պառակտումը[16]։

Ինֆորմատիկայի մեջԽմբագրել

Ծրագրավորման լեզուներումԽմբագրել

Շատ ծրագրավորման լեզուներում գոյություն ունի հատակ/առաստակ ֆունկցիաների floor(), ceil() ներկայացումը:

Էջատման համակարգումԽմբագրել

TeXLaTeX) -ում հատակի/առաստաղի  ,  ,  ,   սիմվոլների համար գոյություն ունի \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil հատուկ հրահանգները: Քանի որ վիքի -ն օգտագործում է LaTeX մաթեմատիկական բանաձևերի հավաքագրման համար, ապա այս հոդվածում ևս օգտագործված են հենց այդ հրահանգները:

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Lemmermeyer, pp. 10, 23.
  2. Обозначение Гаусса использовали Cassels, Hardy & Wright и Ribenboim. Graham, Knuth & Patashnik и Crandall & Pomerance использовали обозначение Айверсона.
  3. Iverson, p. 12.
  4. Higham, p. 25.
  5. 5,0 5,1 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 88.
  6. Weisstein, Eric W., "Floor Function", MathWorld.
  7. 7,0 7,1 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 90.
  8. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 89.
  9. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 90-91.
  10. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 93.
  11. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 108.
  12. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 112-117.
  13. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 91.
  14. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 95-96.
  15. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 99-100.
  16. А. Баабабов «Пентиум» хорошо, а ум лучше // Квант. — 1999. — № 4. — С. 36-38.

ԳրականությունԽմբագրել

  • Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3
  • М. К. Потапов, В. В. Александров, П. И. Пасиченко. Алгебра и начала анализа. — АО Столетие, 1996.