Բաժանում զրոյի վրա

Զրոյի վրա բաժանումը մաթեմատիկայում տեղի է ունենում, երբ բաժանարարը (հայտարարը) զրո է։ Նման բաժանումը կարող է ունենալ $a/0$ տեսքը, որտեղ $a$-ն համարիչն է։ Տարրական թվաբանության մեջ այդ արտահայտությունը իմաստ չունի, քանի որ չկա մի թիվ, որը բազմապատկելով զրոյով, կստանանք $a$ թիվը (ենթադրելով, որ $a\neq 0$)։ Եվ քանի որ ցանկացած թիվ զրոյի բազմապատկելիս ստացվում է զրո, $0/0$ արտահայտությունը նույնպես չունի սահմանված արժեք։

y = 1/x ֆունկցիան: Աջից դեպի 0 x-ի աճին զուգընթաց y-ի աճը անվերջ դրական ուղղությամբ է։ Ձախից դեպի 0 x-ի աճին զուգընթաց y-ի աճը անվերջ բացասական է:

Զրոյի վրա բաժանելիս Անդրոիդի հաշվիչը ցույց է տալիս անվերջության նշանը։

Պատմականորեն, ամենավաղ արձանագրված տվյալներով $a/0$ արտահայտությանը արժեքը նշանակելու անհնարության մասին կա Ջորջ Բերկլիի (1685 – 1753)՝ «criticism of infinitesimal calculus»-ում։

Ծրագրավորման մեջ զրոյի վրա բաժանելու դեպքում կարող է ծրագրի մեջ խնդիր առաջանալ։ Դա կախված է ծրագրավորման միջավայրից և այն թվի տեսակից, որի վրա կատարվում է բաժանումը։ Կարող է առաջացնել դրական կամ բացասական անվերջություն, բացառություն, սխալի ուղերձ, կարող է նաև ծրագիրը դադարի աշխատել կամ կարող է հանգեցնել հատուկ ոչ մի թիվ կոչված արժեքին (NaN)։

Տարրական թվաբանության մեջ

Երբ բաժանումը բացատրվում է տարրական թվաբանական մակարդակով, այն հաճախ դիտվում է որպես մի շարք օբյեկտների միջև կիսում հավասար մասերի։ Որպես օրինակ, ենթադրենք ունենք տասը բլիթ, և այդ բլիթները պետք է հավասարաչափ բաժանենք սեղանի շուրջ նստած հինգ մարդկանց միջև։ Յուրաքանչյուր մարդ կստանա $\textstyle {\frac {10}{5}}=2$ բլիթ։ Նմանապես, եթե կա տասը բլիթ և մեկ մարդ, նա կստանա $\textstyle {\frac {10}{1}}$ բլիթ։

Բայց $0$-ի վրա բաժանելու համար պետք է տանք հետևյալ հարցը՝ եթե բլիթները հավասարաչափ բաժանենք սեղանի շուրջ նստած $0$ մարդկանցից միջև, քանի՞ բլիթ կհասնի յուրաքանչյուրին։ $10$ բլիթները $0$ հավասար մասի բաժանելու հնարավոր ձև։ Մաթեմատիկական ժարգոնով կարելի է ասել, որ $10$ առարկաներ չեն կարող բաժանվել $0$ ենթաբազմությունների. այսինքն, $\textstyle {\frac {10}{0}}$ արտահայտությունը տարրական թվաբանության մեջ կա՛մ համարվում է անիմաստ, կա՛մ՝ դատարկ բազմություն։

Մեկ այլ եղանակ կա համոզվելու, որ թիվը չի կարող բաժանվել զրոյի։ Բաժանումը միշտ կարող ենք ստուգել բազմապատկման միջոցով։ Դիտարկելով վերը բերված $10/0$-ի օրինակը՝ նշանակենք $x=10/0$։ Եթե $x$-ը հավասար է տասը բաժանած զրոյի, ապա $x$ անգամ զրո պետք է հավասար լինի տասի։ Բայց մենք գիտենք, որ չկա այնպիսի $x$, որը զրոյով բազմապատկելիս ստացվի $10$ (կամ զրոյիից բացի այլ թիվ)։ Իսկ եթե $10$-ի փոխարեն գրենք $0$, կստանանք $x=0/0$։ Այս դեպքում $x$-ը կարող է լինել ցանկացած արժեք։

Հանրահաշվում

Բաժանումը՝ բազմապատկման հակառակ գործողություն

Այս հասկացությամբ բաժանումը հանրահաշվում ներկայացվում է որպես բազմապատկման հակառակ գործողություն։ Օրինակ՝

${\frac {6}{3}}=2$,

ուրեմն 2-ը այն անհայտ մեծության արժեքն է, որի դեպքում ճիշտ է

$?\times 3=6$

արտահայտությունը։

Մինչդեռ

${\frac {6}{0}}=\,x$

արտահայտությունը պահանջում է այնպիսի արժեք, որի դեպքում ճիշտ լինի

$x\times 0=6$

հավասարումը։ Բայց ցանկացած թիվ զրոյով բազմապատկելիս կստանանք զրո։ Այսինքն՝ չկա այնպիսի թիվ, որը կբավարարի այդ հավասարմանը։

${\frac {0}{0}}=\,x$

արտահայտությունը պահանջում է այնպիսի արժեք, որի դեպքում ճիշտ կլինի

$x\times 0=0$

հավասարումը։

Նորից, ցանկացած թիվ զրոյով բազմապատկելիս կստանանք զրո։ Հետևաբար, այս դեպքում ցանկացած թիվ բավարարում է ներքևի հավասարմանը, բայց չի կարող բավարարել վերևինին։

Այսպիսով, $0/0$ տեսքի արտահայտությունը կոչվում է անորոշություն։

$0$-ի վրա բաժանելիս առաջացող շփոթություններ

Հնարավոր է ունենալ զրոյի վրա բաժանման այնպիսի հանրահաշվական արգումենտի դեպք, որը կհանգեցնի կեղծ ապացույցների, ինչպես օրինակ՝ $1=2,3=4,8=20$ և այլն։ Օրինակ՝ ընդունելով, որ

$0\times 1=0$

$0\times 2=0$,

պետք է ճիշտ լինի

$0\times 1=0\times 2.\,$

հավասարությունը։ Այս հավասարության երկու կողմերը բաժանելով զրոյի, կստանանք՝

$\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2$։

Պարզեցնելով այդ արտահայտությունը՝ կստանանք, որ

$1=2.\,$

Այստեղ տրամաբանական սխալը ոչ ակնհայտ ենթադրությունն էր, ըստ որի 0-ի վրա բաժանելը նույնպիսի հատկություններով թույլատրելի մաթեմատիկական գործողություն է, ինչպես ցանկացած թվի վրա բաժանելն է։

Պատմական դեպքեր

1997 թվականի սեպտեմբերի 21-ին ամերիկյան «USS Yorktown (CG-48)»-ի հրթիռային հածանավի տվյալների հեռակա կառավարման համակարգում զրոյի վրա բաժանման հետևանքով շարքից դուրս եկան բոլոր ցանցային սարքերը, ինչի հետևանքով խափանվեց նավի շարժիչ համակարգը։