Աստիճանային ֆունկցիա

Աստիճանային ֆունկցիա, տեսքի ֆունկցիա է, որտեղ (աստիճանի ցուցիչ) որոշակի իրական թիվ է[1]։

Հաճախ աստիճանային են համարվում նաև տեսքի ֆունկցիաները, որտեղ -ն որոշակի մասշտաբային արտադրիչ է։ Գոյություն ունի նաև աստիճանային ֆունկցիայի կոմպլեքս ընդհանրացումը[2]։ Պրակտիկայում աստիճանի ցուցիչը գրեթե միշտ հանդիսանում է ամբողջ կամ ռացիոնալ թիվ։

Իրական ֆունկցիաԽմբագրել

Որոշման տիրույթըԽմբագրել

Եթե ցուցչի աստիճանը ամբողջ թիվ է, ապա կարելի է դիտարկել աստիճանային ֆունկցիան ամբողջ թվային առանցքի վրա (բացառությամբ, հնարավոր է, զրո)։ Ընդհանուր դեպքում աստիճանային ֆունկցիան որոշված է  -ի դեպքում։ Եթե  ,ապա ֆունկցիան որոշված է նաև  դեպքի համար, այլապես զրոն հանդիսանում է իր հատուկ կետը։

Ռացիոնալ աստիճանային ցուցիչԽմբագրել

  • Աստիճանային ֆունկցիաները   բնական ցուցչի դեպքում անվանում են  -րդ աստիճանի պարաբոլաներ։  դեպքում ստացվում է ֆունկցիան, որը կոչվում է ուղիղ համեմատական կախվածություն։
  •   տեսքի ֆունկցիայի գրաֆիկը, որտեղ  բնական թիվ է, անվանում են  -րդ աստիճանի հիպերբոլա։ դեպքում ստացվում է   ֆունկցիան, որը կոչվում է հակադարձ համեմատական կախվածություն։
  • Եթե  , ապա ֆունկցիան հանդիսանում է  -րդ աստիճանի թվաբանական արմատ։

Օրինակ, Կեպլերի երրորդ օրենքից հետևում է, որ արևի շուրջ մոլորակի պտտման   պարբերությունը կախված է իր ուղեծրի   մեծ կիսաառանցքից հետևյալ հարաբերությամբ՝  (կիսախորանարդ պարաբոլա)։

ՀատկություններԽմբագրել

  • Ֆունկցիան անընդհատ և անսահմանափակ դիֆերենցելի է բոլոր կետերում, որոնց շրջակայքում նա որոշված է։ Զրոն, ընդհանրապես ասած, հանդիսանում է հատուկ կետ։ Օրինակ,   ֆունկցիան որոշված է զրոյում և նրա աջ շրջակայքում, բայց նրա ածանցյալը՝  , զրո կետում որոշված չէ։
  •   միջակայքում ֆունկցիան մոնոտոն աճում է  -ի դեպքում և մոնոտոն նվազում է  -ի դեպքում։ Ֆունկցիայի արժեքը այս միջակայքում դրական է։
  • Ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է.  
  • Անորոշ ինտեգրալն է .

ա) եթե  , ապա  ,

բ) եթե   ստանում ենք.  ։

Կոմպլեքս ֆունկցիաԽմբագրել

  կոմպլեքս փոփոխականի աստիճանային ֆունկցիան, ընդհանրապես ասած, որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝  [3]

Այստեղ   աստիճանի ցուցիչը որոշակի կոմպլեքս թիվ է։ Ֆունկցիայի արժեքը, որը համապատասխանում է լոգարիթմի գլխավոր արժեքին, անվանում են աստիճանի գլխավոր արժեք։ Օրինակ, -ի արժեքը հավասար է   որտեղ  -ն կամայական ամբողջ է, իսկ նրա գլխավոր արժեքն է  ։

Ֆունկցիայի կոմպլեքս աստիճանը բավականին տարբերվում է իր իրական անալոգից։ Կոմպլեքս լոգարիթմի բազմարժեքության արդյունքում նա, ընդհանրապես ասած, նույնպես կարող է ընդունել անսահման շատ արժեքներ։ Սակայն երկու պրակտիկորեն կարևոր դեպքերը դիտարկվում են առանձին։

  1. Բնական ցուցչի դեպքում ֆունկցիայի աստիճանը միարժեք է և  -շերտանի։
  2. Եթե աստիճանի ցուցիչը դրական ռացիոնալ թիվ է, այսինքն   տեսքի կոտորակ (անկրճատելի),   ֆունկցիան կնդունի   տարբեր արժեքներ։

Տես նաևԽմբագրել

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, §48: Важнейшие классы функций.
  2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука,1978. Стр. 312.
  3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 526-527.

Արտաքին հղումներԽմբագրել

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 1, էջ 576