Տոր (մակերևույթ)

Տոր (տորոիդ), պտտման մակերևույթ, որն ստացվում է շրջանագիծը պտտելով այն շրջանագծի շուրջը, որի վրա գտնվում է պտտվող շրջանագծի կենտրոնը, կամ շրջանագիծը պտտելով այն առանցքի շուրջը, որը գտնվում է շրջանագծի հարթության վրա, բայց չի հատում այն։

Կարմիրով կառուցող շրջանագիծն է

Երբեմն չի պահանջվում, որ առանցքը չհատի հարթությունը, այդ դեպքում տորը կոչվում է փակ, հակառակ դեպքում բաց։

Տորը կոմուտատիվ հանրահաշվական խմբի և Լիի խմբի օրինակ է։

Պատմություն

Առաջին անգամ տորային մակերևույթները ուսումնասիրվել են հին հույն մաթեմատիկոս Արքիտասի կողմից, խորանարդի կրկնապատկման խնդրի լուծման ժամանակ։ Հին հույն մաթեմատիկոս Պերսեոսը գիրք գրեց՝ տորը առանցքին զուգահեռ հարթությամբ հատելուց ստացված մակերևույթների մասին։

Տորի առանցք

Պտտման առանցքը կարող է հատել շրջանագիծը, շոշափել այն կամ գտնվել նրանից դուրս։ Առաջին երկու դեպքերում տորը կոչվում է փակ, իսկ երրորդ դեպքում կոչվում է փակ կամ օղակ։

• Պտտման առանցքից հեռավորության փոփոխություն
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Պտտվող շրջանագծի կենտրոնով գծված շրջանագիծը կոչվում է ուղղորդող։

• Հատկություններ
• 
  Տորի շրջման փուլերը
• 
  Տորի մասերի ներկման օրինակ
• 
  Կիսորդյին հարթությամբ հատման դեպքում Վիլարսոյի երկու շրջանագծերի առաջացման անիմացիա
• 
  Հատում
• 
  Տարածաչափական պրոեկցիա

Հավասարումներ

Պարամետրական

Տորի պարամետրական հավասարումն է, կախված R- պտտման առանցքի և կառուցող շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունից և r -կառուցող շրջանագծի շառավիղից․

$\left\{{\begin{matrix}x(\varphi ,\psi )=&(R+r\cos \psi )\cos \varphi \\y(\varphi ,\psi )=&(R+r\cos \psi )\sin \varphi \\z(\varphi ,\psi )=&r\sin \psi \\\end{matrix}}\right.\qquad \varphi \in [0,2\pi ),\psi \in [-\pi ,\pi )$

Հանրահաշվական

Ոչ պարամետրական հավասարումը նույն կոորդինատներով և նույն շառավիղներով չորրորդ աստիճանի է․

$\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}-4R^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=0$

Այդպիսի մակերևույթը նույնպես չորրորդ աստիճանի է։

Գոյություն ունեն նաև այլ մակերևույթներ, ուրիշ աստիճանի.

$y^{2}=x^{3}+x+1$, որտեղ x, y -ը կոմպլեքս թվեր են։ Կոմպլեքա էլիպսային կորը խորանարդ աստիճանի կոր է։

$\left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=1\\z^{2}+t^{2}=1\\\end{matrix}}\right.$ Տորի ներմուծումը քառաչափ տարածություն բերում է երկրորդ կարգի մակերևույթի։ Այդ մակերևույթի կորությունը հավասար է 0։

Գրականություն

• Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7