Շոշափող

Շոշափող, ուղիղ, որն անցնում է կորի տվյալ կետով և այդ կետում համընկնում է նրա հետ։

Ֆունկցիայի գրաֆիկ (սև կոր) և շոշափող (կարմիր ուղիղ)

Խիստ Սահմանումը

• Դիցուք, $f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ֆունցիան սահմանվում է որոշակի $x_{0}\in \mathbb {R}$ կետի շրջակայքում և դրանում դիֆերենցելի է՝ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$։ $f$ ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափող $x_{0}$ կետում, կոչվում է այն գծային ֆունցիայի գրաֆիկը, որը տրվում է հետևյալ հավասարմամբ՝
• ։ $y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\in \mathbb {R}$.
• Եթե $f$ ֆունցիան $x_{0}$ կետում ունի $f'(x_{0})=\pm \infty ,$ անվերջ ածանցյալներ, ապա այդ կետում շոշափող կոչվում է ուղղահայաց ուղիղը, որը տրվում է հետևյալ բանաձևով
• ։ $x=x_{0}.$

Ծանոթագրություն

Հենց սահմանումից հետևում է, որ շոշափողի գրաֆիկն անցնում է $(x_{0},f(x_{0}))$ կետով։ Կորի շոշափողի ու Ох առանցքի միջև ընկած $\alpha$ անկյունը բավարարում է հետևյալ հավասարմանը

$\operatorname {tg} \,\alpha =f'(x_{0})=k,$

որտեղ $\operatorname {tg}$–ը նշանակում է տանգենս, իսկ $\operatorname {k}$–ը՝ շոշափողի թեքման կոեֆիցենտ։ $x_{0}$ կետում ածանցյալը հավասար է այդ կետում $y=f(x)$ ֆունկցիայի շոշափողի թեքման կոեֆիցենտին։

Շոշափողը որպես հատողի սահմանային վիճակ

Դիցուք $f\colon U(x_{0})\to \mathbb {R}$ և $x_{1}\in U(x_{0}).$ Այս դեպքում ուղիղը, որն անցում է $(x_{0},f(x_{0}))$ և $(x_{1},f(x_{1}))$ կետերով տրվում է հետևյալ հավասարմամբ՝

$y=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).$

Այդ ուղիղն անցնում է $(x_{0},f(x_{0}))$ կետով յուրաքանչյուր $x_{1}\in U(x_{0}),$ և նրա թեքման $\alpha (x_{1})$ անկյունը բավարարում է հետևյալ հավասարմանը՝

$\operatorname {tg} \,\alpha (x_{1})={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}.$

Հաշվի առնելով, որ $f$ ֆունցիայի ածանցյալը գոյություն ունի $x_{0},$ կետում, անցնելով $x_{1}\to x_{0},$ սահմանը, ստանում ենք, որ գոյություն ունի նաև հետևյալ սահմանը՝

$\lim \limits _{x_{1}\to x_{0}}\operatorname {tg} \,\alpha (x_{1})=f'(x_{0}),$

իսկ արկտանգենսի անընդհատության դեպքում և հետևյալ սահմանային անկյունը

$\alpha =\operatorname {arctg} \,f'(x_{0}).$

$(x_{0},f(x_{0}))$ կետով անցնող և թեքման սահմանային անկյուն ունեցող ուղիղը, որը բավարարում է $\operatorname {tg} \,\alpha =f'(x_{0}),$ տրվում է շոշափողի բանաձևով

$y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).$

Շրջանագծի շոշափողներ

Շոշափողի հատվածներ

Ուղիղը, որը շրջանագծի հետ մեկ ընդհանուր կետ ունի և ընկած է նրա հարթության մեջ, կոչվում է շրջանագծի շոշափող։

Հատկություններ

1. Շրջանագծի շոշափողն ուղղահայաց է շոշափման կետով տարված շառավղին։
2. Մի կետից տարված շոշափողի հատվածները հավասար են և հավասար անկյուններ են կազմում այդ կետով ու շրջանագծի կենտրոնով անցնող ուղղի հետ։

Վարիացիաները և ընդհանրացումները

Միակողմանի կիսաշոշափողներ

• Եթե գոյություն ունի աջ ածանցյալ $f'_{+}(x_{0})<\infty ,$ ապա ֆունկցիայի գրաֆիկի աջ կիսաշոշափողը $f$ $x_{0}$ կետում կոչվում է ճառագայթ։

$y=f(x_{0})+f'_{+}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\geqslant x_{0}.$

• Եթե գոյություն ունի ձախ ածանցյալ $f'_{-}(x_{0})<\infty ,$ ապա $f$ ֆունկցիայի գրաֆիկի ձախ կիսաշոշափողը $x_{0}$ կետում կոչվում է ճառագայթ։

$y=f(x_{0})+f'_{-}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\leqslant x_{0}.$

• Եթե գոյություն ունի անվերջ աջ ածանցյալ $f'_{+}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),$ ապա $f$ ֆունցիայի աջ կիսաշոշափողը $x_{0}$ կետում կոչվում է ճառագայթ։

$x=x_{0},\;y\geqslant f(x_{0})\;(y\leqslant f(x_{0})).$

• Եթե գոյություն ունի անվերջ ձախ ածանցյալ $f'_{-}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),$ ապա $f$ ֆունցիայի գրաֆիկի աջ կիսաշոշափողը $x_{0}$ կոտում կոչվում է ճառագայթ։

$x=x_{0},\;y\leqslant f(x_{0})\;(y\geqslant f(x_{0})).$

Գրականություն

• Շոշափող // Բրոքհաուսի և Էֆրոնի հանրագիտարանային բառարան։ 86 հատորով (82 հիմնական հատոր և 4 լրացուցիչ)՝ 1890—1907։