Սեղան (երկրաչափություն)

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Սեղան (այլ կիրառումներ)

Սեղան է կոչվում այն քառանկյուն, որի երկու հանդիպակաց կողմերը զուգահեռ են միմյանց, իսկ մյուս երկուսը՝ ոչ։

Սեղանի զուգահեռ կողմերը կոչվում են հիմքեր։ (Օրինակ՝ նկարում AB-ն սեղանի փոքր հիմքն է, DC-ն՝ մեծ հիմքը)

Սեղանի ոչ զուգահեռ կողմերը կոչվում են սրունքներ։ (Օրինակ՝ նկարում AD-ն, BC-ն)

Սեղանները կարող են լինել հավասարասրուն և ուղղանկյուն։ Հավասարասրուն սեղան է կոչվում այն սեղանը, որի սրունքները (կողմնային կողերը) հավասար են միմյանց։ Իսկ ուղղանկյուն սեղան է կոչվում այն սեղանը, որի սրունքներից մեկը ուղղահայաց է հիմքերին։

Սեղանի տարրերի սահմանումներ

Սեղանի տարրեր

Սեղանի անկյունագծերի հատման կետը, սրունքների շարունակությունների հատման կետը և հիմքերի միջնակետերը գտնվում են միևնույն ուղղի վրա։

• Զուգահեռ կողմերը կոչվում են հիմքեր․
• 2 մյուս կողմերը կոչվում են սրունքներ.
• Սրունքների միջնակետերը միացնող գիծը կոչվում է սեղանի միջին գիծ.

Սեղանների տեսակները

• Այն սեղանները, որոնց սրունքները հավասար են կոչվում են հավասարասրուն սեղաններ։
• Այն սեղանը, որն ունի ուղիղ անկյուն, կոչվում է ուղղանկյուն սեղան։

• 

  Հավասարասրուն սեղան

• 

  Ուղղանկյուն սեղան

Ընդհանուր հատկություններ

• Սեղանի բարձրությունը

$h={\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-a\right)^{2}}}$

որտեղ $b$ — մեծ հիմքն է, $a$ — փոքր հիմքն է, $c$ и $d$ — սրունքներ.

• $d_{1}$և $d_{2}$անկյունագծերը, և կողմերը կապված են

$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2ab+c^{2}+d^{2}$ արտահայտությամբ։

Անկյունագծերը արտահայտվում են՝

$d_{1}=AC={\sqrt {ab+d^{2}+{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}$

$d_{2}=BD={\sqrt {ab+c^{2}-{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}$

Եվ ընդհակառակը՝

$a={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{1}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{2}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}+d_{1}^{2}-d_{2}^{2})}}}$

$b={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{2}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{1}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}-d_{1}^{2}+d_{2}^{2})}}}$

$c={\sqrt {\frac {a(d_{2}^{2}-b^{2})+b(d_{1}^{2}-a^{2})}{a+b}}}$

$d={\sqrt {\frac {a(d_{1}^{2}-b^{2})+b(d_{2}^{2}-a^{2})}{a+b}}}$

Եթե հայտնի է$h$ բարձրությունը,ապա

$d_{1}={\sqrt {b^{2}+d^{2}-2b{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}}}={\sqrt {h^{2}+\left(b-{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}$

$d_{2}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2b{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}}}={\sqrt {h^{2}+\left(b-{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}$

Ներգծված և արտագծված շրջանագծեր

• Արտագծված շրջանագծի շառավիղը՝

$R={\frac {bcd_{1}}{4{\sqrt {p(p-b)(p-c)(p-d_{1})}}}}={\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4-\left({\frac {b-a}{c}}\right)^{2}}}}$

որտեղ $p={\frac {1}{2}}(b+c+d_{1})\,,\,c$ — սրունք, $b$ — մեծ հիմք, $a$ — փոքր հիմք, $d_{1}=d_{2}$ — հավասարասրուն սեղանի անկյունագծերը

• Եթե $a+b=2c$, ապա հավասարասրուն սեղանին կարելի է ներգծել,

$r={\frac {h}{2}}={\frac {\sqrt {ab}}{2}}$ շառավղով շրջանագիծ։

Սեղանի մակերեսը

• $a$ և $b$ սեղանի հիմքերի և $h$ — բարձրության միջոցով՝

$S={\frac {(a+b)}{2}}h$

• $m$ միջին գծի և $h$ բարձրության միջոցով՝

$S=\displaystyle mh$

• միջին գիծը հավասար է հիմքերի կիսագումարին՝

$m={\frac {(a+b)}{2}}$

• սեղանի մակերեսը $a$, $b$ հիմքերի և $c$ և $d$ ոչ զուգահեռ կողմերի միջոցով՝

$S={\frac {a+b}{4|a-b|}}{\sqrt {(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}}.$

• հավասարասրուն սեղանի մակերեսը $r$ ներգծված շրջանագծի շառավիղի և հիմքին կից $\alpha$ անկյան միջոցով՝

$S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}$

• մասնավորապես, եթե տվյալ անկյունը 30° է, ապա

$S=\displaystyle 8r^{2}$

• հավասարասրուն սեղանի մակերեսը $c$ կողմի և $a$ մեծ հիմքին կից $\gamma$ անկյան միջացով։

$S=(a-c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }=(b+c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }$