Երկրաչափական պրոգրեսիա

Երկրաչափական պրոգրեսիա, $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ \ldots$ թվերի (պրոգրեսիայի ոչ զրոյական անդամների) այնպիսի հաջորդականություն, որտեղ յուրաքանչյուր անդամ (բացի առաջինից) հավասար է նախորդ անդամի և միևնույն $q\quad$ թվի (պրոգրեսիայի հայտարարի) արտադրյալին՝

$b_{1}\not =0$, $q\not =0$։ $b_{1},\ b_{2}=b_{1}q,\ b_{3}=b_{2}q,\ \ldots ,\ b_{n}=b_{n-1}q$

Նկարագրություն

Երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամ ստացվում է հետևալ բանաձևի միջոցով՝

$b_{n}=b_{1}q^{n-1}\quad$

Եթե $b_{1}>0$ և $q>1$, պրոգրեսիան կոչվում է աճող, իսկ $0<q<1$ դեպքում՝ նվազող, իսկ $q=1$ —ի դեպքում հաստատուն

Պրոգրեսիայի անվանումը կապված է միջին երկրաչափականի հետ (յուրաքանչյուր անդամ հավասար է նույն «հեռավորության» վրա գտնվող նախորդ և հաջորդ անդամների միջին երկրաչափականին)՝

$|b_{n}|={\sqrt {b_{n-k}b_{n+k}}},$

Օրինակներ

• $\pi ,\pi ,\pi ,\pi$ — երկրաչափական պրոգրեսիա 1 հայտարարով (և թվաբանական պրոգրեսիա 0 տարբերությամբ)
• 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — անվերջ նվազող պրոգրեսիա -½ հայտարարով
• 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — տասներեք անդամներից բաղկացած պրոգրեսիա 2 հայտարարով

Հատկություններ

• Երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների լոգարիթմները (եթե որոշված են) կազմում են թվաբանական պրոգրեսիա։

Ապացույց.

Դիցուք $w_{n}$-ը հաջորդականություն է՝ $w_{n}=\log _{p}b_{n}\$

$\forall n>1\quad {\frac {w_{n-1}+w_{n+1}}{2}}={\frac {\log _{p}b_{n-1}+\log _{p}b_{n+1}}{2}}={\frac {\log _{p}b_{1}q^{n-2}+\log _{p}b_{1}q^{n}}{2}}={\frac {\log _{p}(b_{1}^{2}q^{2n-2})}{2}}={\frac {2\cdot \log _{p}b_{1}q^{n-1}}{2}}=\log _{p}b_{n}=w_{n}\$

Ստացված հարաբերակցությունը բնորոշ է թվաբանական պրոգրեսիային.

• $b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i},i<n$

Ապացույց.

$b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}$

• Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների արտադրյալը կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևով՝
• ։ $P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2}}$,

Ապացույց.

$P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n-1))}{2}}=(b_{1}b_{1}q^{n-1})^{\frac {n}{2}}=(b_{1}b_{n})^{\frac {n}{2}}$

• Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին $n$ անդամների գումարը՝
• ։ $S_{n}={\begin{cases}\sum _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}q^{n}-b_{1}}{q-1}}={\frac {b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}$

Ապացույց.

• Գումարի միջոցով՝
• ։ $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}\Rightarrow$

։ $\Rightarrow (1-q)\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}-b_{1}q^{n}\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}$

• Եթե $\left|q\right|<1$, ապա $b_{n}\to 0$ երբ $n\to +\infty$, և
• ։ $S_{n}\to {b_{1} \over 1-q}$ այն դեպքում երբ $n\to +\infty$.

Տես նաև

• Թվաբանական պրոգրեսիա
• Հաջորդականություն (մաթեմատիկա)