Այս երեք երկրաչափական պատկերների ընդհանուր մակերեսը կազմում է մոտավորապես 15.59 վանդակ։
Մակերես, մեծություն, որն արտահայտում է երկչափ մակերևույթի կամ հարթության կոնտուրի չափը։ Մակերեսը կարելի է պատկերացնել որպես տված հաստությամբ մատերիալի քանակություն, որն անհրաժեշտ է ծածկելու կոնտուրով շրջափակված մակերևույթը կամ ներկի քանակությունը, որ անհրաժեշտ է այդ մակերևույթը մի շերտով ծածկելու համար։
Մակերեսը միավոր քառակուսիների այն քանակությունն է, որով ամբողջովին ծածկվում է տվյալ պատկերը։ Եթե, օրինակ, ասում են, որ պատկերի մակերեսը 16.3 սմ2 է, ապա դա նշանակում է, որ տվյալ պատկերն ամբողջովին ծածկելու համար անհրաժեշտ է 16.3 հատ 1×1 սմ չափսերով քառակուսիներ։ Պատկերի՝ միավոր քառակուսիների վերածումը կոչվում է՝ քառակուսացում։
Երկրաչափական պարզ պատկերները՝ եռանկյունիները, շրջանը և այլն, ունեն մակերեսը չափելու բանաձևեր։
Երկրաչափական պատկերների մակերեսի հաշվարկման ընդհանուր մեթոդն ապահովում է ինտեգրալային հաշվարկը: Մակերեսի հիմնական գաղափարի ընդհանրացումը դարձավ բազմության չափանիշների տեսությունը, որը կիրառելի է երկրաչափական օբյեկտների ավելի լայն դասի համար:
Գործնականում մակերեսի մոտավոր հաշվարկման համար օգտագործում են հատուկ հաշվարկման սարք՝ պլանաչափ:
Մակերես հասկացողության սահմանում
խմբագրել
Մակերեսը ֆունկցիա է, որն ունի հետևյալ հատկությունները.
Դրական, այսինքն մակերեսը միշտ դրական է;
Հավելում, այսինքն պատկերի մակերեսը հավասար է երկրաչափական տվյալ պատկերը կազմող այլ պատկերների մակերեսների գումարին՝ առանց ընդհանուր ներքին կետերի;
Անփոփոխություն, այսինքն համանման պատկերների մակերեսներն իրար հավասար են;
Նորմալացում, այսինքն միավոր քառակուսու մակերեսը հավասար է մեկի:
Երկարության յուրաքանչյուր միավորին համապատասխանում է մակերեսի այն միավորը, որը տվյալ երկարության վրա կառուցված քառակուսու մակերեսն է։
Միավորների միջազգային համակարգում մակերեսի միավորն է քառակուսի մետրը, որն այդ համակարգի հիմնական միավորներից մեկն է։ Ընդ որում՝
1մ2 =100սմ2 =1000000մմ2 =10-6 կմ2 :
Քառակուսի մետրի գրառման ձևերն են՝ քառ.մ. մ.(մակերես), ք.մ. մ.(մակերես), մ2 ։
1ար=100 քառակուսի մետր
Չնայած նրան, որ ար ը դուրս է եկել գործածությունից, հեկտար ը հողի մակերեսի չափման լայնորեն գործածվող միավոր է՝
1հեկտար(հա)=100ար=10 000 քառակուսի մետր=0.01 քառակուսի կիլոմետր (կմ2 )
Հողի չափման մյուս տարածված միավորն է ակր ը՝
1ակր=4 840 քառակուսի յարդ=43 560 քառակուսի ոտնաչափ=4046.86 քառակուսի մետր։
Ակրը կազմում է հեկտարի մոտավորապես 40%-ը։
Երկրաչափական պատկերների մակերեսների բանաձևեր
խմբագրել
Պատկերը
Բանաձևը
Փոփոխականները
Կանոնավոր (հավասարակողմ) եռանկյուն
1
4
3
s
2
{\displaystyle {\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!}
s
{\displaystyle s}
-ը եռանկյունու կողմի երկարությունն է։
Եռանկյունի
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!}
s
{\displaystyle s}
-ը կիսապարագիծն է,
a
{\displaystyle a}
-ն,
b
{\displaystyle b}
-ն և
c
{\displaystyle c}
-ն կողմերի երկարություններն են։
1
2
a
b
sin
(
C
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)\,\!}
a
{\displaystyle a}
-ն և
b
{\displaystyle b}
-ն երկու որևէ կողմերն են,
C
{\displaystyle C}
-ն՝ նրանց կազմած անկյունը ։
1
2
b
h
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}bh\,\!}
b
{\displaystyle b}
-ն և
h
{\displaystyle h}
-ը եռանկյունու հիմքն ու բարձրությունն են։
Շեղանկյունի
1
2
a
b
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}
a
{\displaystyle a}
-ն և
b
{\displaystyle b}
-ն անկյունագծերն են։
Զուգահեռագիծ
b
h
{\displaystyle bh\,\!}
b
{\displaystyle b}
-ն հիմքի երկարությունն է,
h
{\displaystyle h}
-ը՝ բարձրությունը։
Սեղան
1
2
(
a
+
b
)
h
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)h\,\!}
a
{\displaystyle a}
-ն և
b
{\displaystyle b}
-ն զուգահեռ կողմերն են (հիմքերը)
h
{\displaystyle h}
-ը՝ նրանց միջև եղած հեռավորությունը։
Շրջան
π
r
2
or
π
d
2
4
{\displaystyle \pi r^{2}\ {\text{or}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!}
r
{\displaystyle r}
-ը շառավիղն է,
d
{\displaystyle d}
-ն՝ տրամագիծը։
Շրջանի սեկտոր
θ
2
r
2
or
L
⋅
r
2
{\displaystyle {\frac {\theta }{2}}r^{2}\ {\text{or}}\ {\frac {L\cdot r}{2}}\,\!}
r
{\displaystyle r}
-ը
θ
{\displaystyle \theta }
-ն շառավիղն ու անկյունը ռադիաններով ,
L
{\displaystyle L}
-ը պարագիծն է։
Էլիպս
π
a
b
{\displaystyle \pi ab\,\!}
a
{\displaystyle a}
-ն և
b
{\displaystyle b}
-ն կիսաառանցքներն են։
S
=
π
r
2
.
{\displaystyle \mathrm {S} =\pi r^{2}.\,}
S
=
π
d
2
4
{\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\,}
որտեղ r-ը շրջանի շառավիղն է իսկ d-ն տրամագիծը
S
=
a
2
.
{\displaystyle \mathrm {S} =a^{2}.\,}
S
=
1
2
b
h
{\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {1}{2}}bh}
#
S
△
A
B
C
=
1
2
b
h
b
{\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}bh_{b}}
, քանի որ
h
b
=
a
sin
γ
{\displaystyle \ h_{b}=a\sin \gamma }
, ուստի
S
△
A
B
C
=
1
2
a
b
sin
γ
{\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma }
S
△
A
B
C
=
1
2
r
(
a
+
b
+
c
)
=
p
r
{\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}r(a+b+c)=pr}
S
△
A
B
C
=
a
b
c
4
R
{\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {abc}{4R}}}
S
△
A
B
C
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
=
1
4
(
a
+
b
+
c
)
(
b
+
c
−
a
)
(
a
+
c
−
b
)
(
a
+
b
−
c
)
{\displaystyle S_{\triangle ABC}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={1 \over 4}{\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}}
- Հերոնի բանաձև
S
△
A
B
C
=
a
2
sin
β
sin
γ
2
sin
α
{\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}}
S
△
A
B
C
=
2
R
2
sin
α
sin
β
sin
γ
{\displaystyle S_{\triangle ABC}={2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }}
S
△
A
B
C
=
1
2
|
x
A
y
A
1
x
B
y
B
1
x
C
y
C
1
|
=
|
x
A
(
y
B
−
y
C
)
+
x
B
(
y
C
−
y
A
)
+
x
C
(
y
A
−
y
B
)
|
2
=
{\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}={\frac {\left|x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})\right|}{2}}=}
=
|
(
x
B
−
x
A
)
(
y
C
−
y
A
)
−
(
x
C
−
x
A
)
(
y
B
−
y
A
)
|
2
{\displaystyle ={\frac {\left|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})\right|}{2}}}
S
△
A
B
C
=
a
b
2
=
r
2
+
2
r
R
{\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {ab}{2}}=r^{2}+2rR}
- ուղղանկյուն եռանկյան համար
S
△
A
B
C
=
c
2
2
(
c
t
g
α
+
c
t
g
β
)
{\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {c^{2}}{2(ctg\alpha +ctg\beta )}}}
- եթե հայտնի է եռանկյան մեկ կողմը և նրան կից անկյունները
Որտեղ
h
b
{\displaystyle \ h_{b}}
-
b
{\displaystyle \ b}
կողմիին տարված բարձրությունն է,
p
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}
- պարագծի կեսն է,
r
{\displaystyle \ r}
- ներգծած շրջանի շառավիղն է,
R
{\displaystyle \ R}
- արտագծած շրջանի շառավիղն է,
(
x
A
,
y
A
)
;
(
x
B
,
y
B
)
;
(
x
C
,
y
C
)
{\displaystyle \ (x_{A},y_{A});(x_{B},y_{B});(x_{C},y_{C})}
- եռանկյան գագաթների կոորդինատներն են։
a
{\displaystyle a}
և
b
{\displaystyle b}
սեղանի հիմքերի
m
{\displaystyle m}
միջին գծի և
h
{\displaystyle h}
— բարձրության միջոցով՝
S
=
(
a
+
b
)
2
h
=
m
h
{\displaystyle S={\frac {(a+b)}{2}}h=\displaystyle mh}
սեղանի մակերեսը
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
հիմքերի և
c
{\displaystyle c}
և
d
{\displaystyle d}
ոչ զուգահեռ կողմերի միջոցով՝
S
=
a
+
b
4
|
a
−
b
|
(
a
+
c
+
d
−
b
)
(
a
+
d
−
b
−
c
)
(
a
+
c
−
b
−
d
)
(
b
+
c
+
d
−
a
)
.
{\displaystyle S={\frac {a+b}{4|a-b|}}{\sqrt {(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}}.}
հավասարակողմ սեղանի մակերեսը
r
{\displaystyle r}
ներգծված շրջանագծի շառավիղի և հիմքին կից
α
{\displaystyle \alpha }
անկյան միջոցով՝
S
=
4
r
2
sin
α
{\displaystyle S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}}
մասնավորապես, եթե տվյալ անկյունը 30° է, ապա
S
=
8
r
2
{\displaystyle S=\displaystyle 8r^{2}}