Վինսենտի բանաձևը դա երկու կապված իտերատիվ մեթոդներ են որոնք օգտագործվում են երկրագիտության մեջ երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը հաշվելու համար սֆերոիդի մակերեսին, նրանք ստեղծվել են Թադեոս Վինսենտի կողմից (1975թ): Նրանք հիմնված էին այն ենթադրության վրա որ Երկրի ձևը նման է ձգված սֆերոիդի, հետևաբար դա ավելի ձշգրիտ է քան մեծ տարածություն ունեցող շրջանակը որը անվանվում է գնդաձև Երկիր:
Առաջին (ուղիղ)մեթոդը համակարգում է գործունեության վայրի կետը, որը ցույց է տալիս հեռավորությունը և ազիմուտը ուրիշ կետից: Երկրորդ (հակադարձ) մեթոդը համակարգում է աշխարհագրական հեռավորությունը և ազիմուտը երկու դիտարկված կետերի միջև: Նրանք արդեն լայնորեն օգտագործվում են գեոդեզիայի մեջ որովհետև նրանք հավասար են 0.5 mm (0.020″) Երկրի էլիպսոյիդում.
Ընդհանուր տեղեկություններ
խմբագրելՎինսենտի նպատակն էր արտահայտել առկա ալգորիթմի համար ուղիղ և հակառակ գեոդեսիկ խնդիրը նվազեցնելով ծրագրային երկարությունը: Նրա չհրատակված հոդավածը (1975թ)նշում է Wang 720 desk հաշվիչի օգտագործումը որը ուներ ընդամենը մի քանի կիլոբայթ հիշողություն: Ձեռք բերելով լավ երկարություն ունեցող գծեր, լուծումը օգտագործում է Legendre (1806), Bessel (1825)և Helmert (1880) դասական լուծումներ հիմնվելով լրացուցիչ ոլորտի վրա : ( Վինսենտեն ապավինում էր որ այդ մեթոդի ձևակերպումը ստեղծվել է Ռեյնսֆորդի կողմից, 1955 թ.) Legendre ցույց է տալիս որ ելիփսակերպ գեոդեսիկը կարող է արտացոլվել մեց շրջանում լրացուցիչ ոլորտը արտացոլումով աշխարհագրական լայնությունը նվազեցնելով ազիմուտի լայնությունով և կարգավորումով: Լայնությունը էլիպսաձևի վրա և հեռավորությունը գեոդեսիկի երկայնքով հետո վերցված է ոլորտի երկարությունից սֆերայի վրա և arc երկարությունից մեց շրջանի երկայնքով պարզ ինտեգրալներով: Bessel և Helmert-ը տրված է արագ համամիտող շարքի կողմից այս ինտեգրալների համար որոնք թույլ են տալիս գեոդեսիկին լինել հաշվարկված կամայական ճշգրտությամբ:
Որպեսզի նվազեցնել ծրագրի չափը, Վինսենտեն վերցրել է այս տեսակները, վերանայել է նրանց օգտագործման առաջին ժամկետը, և բեռնել է նրանց հրամանին ƒ3.: Դա հանգեցրեց կոմպակտ արտահայտություններին, որոնք վերաբերվում էին լայն և հեռավոր ինտեգրալներին: Արտահայտւթյունները վեռցված էին Horner ձևից, քանի որ դա թույլ էր տալիս պոլինոմիալներին ճիշտ վերլուծվել, օգտագործելով միայն ժամանակավոր գրանցում: Վերջապես, պարզ իտերատիվ տեխնիկան օգտագործվել է թաքնված խնդիրներ լուծելու համար; չնայած նրանք դանդաղ են (իսկ հակառակ դեպքում, այն մեթոդը երբեմն չի զուգադիմել), նրանք հանգեցնում են նվազագույն չափի ավելացման ծածկագրի:
Նշագրման սիստեմ
խմբագրելՍահմանվում է հետևյալ նշագրման սիստեմ:
a | կիսա -գլխավոր էլիպսակերպի երկարություն (շառավիղը հասարակածում); | (6378137.0 մետր in WGS-84) |
ƒ | շտկող հաստոցներ էլիփսակերպում; | (1/298.257223563 in WGS-84) |
b = (1 - ƒ) a | կիսա -գլխավոր էլիպսակերպի երկարություն (շառավիղը բեվեռներում); | |
φ1, φ2 | բեվեռների լայնությունը; | |
U1 = arctan[(1 − ƒ) tan φ1], U2 = arctan[(1 − ƒ) tan φ2] |
reduced latitude (լայնության օժանդակ ոլորտ վրա) | |
L = L2 - L1 | լայնության տարբերությունը երկու կետերում; | |
λ1, λ2 | երկայնությունը կետերի օժանդակ ոլորտում; | |
α1, α2 | փոխանցված ազիմուտ կետերում; | |
α | ազիմուտ հասարակածում; | |
s | էլիփսակերպ տարածություն երկու կետերի միջև; | |
σ | arc երկարությունը կետերի միջև օժանդակ ոլորտում; |
Հակադարձ խնդիրներ
խմբագրելՎերցնելով երկու կետերի կորդինատները (φ1, L1) և (φ2, L2), Հակադարձ խնդիրը կգտնի ազիմուտները α1, α2 և էլիփսակերպ տարածությունը s.
Հաշվենք U1, U2 և L, սահմանելով սկզբնական արժեքը λ = L. Այնուհետև իտերատիվ գնահատումը հետևյալ հավասարման համար, մինչև λ :
Երկու մոտ տրամագծորեն հակառակ կետերի միջև, իտերատիվ բանաձևը չի կարող զուգամիտել:
Ուղիղ խնդիր
խմբագրելՍկսում ենք հաշվարկման հետեւյալ տարբերակը:
Այնուհետև, օգտագործում ենք սկզբնական արժեքը :
Մի անգամ σ-ն օգտագործվեց որպես ճշտության գնահատող:
Եթե նախնական կոտը գտնվում Հյուսիսային կամ Հարավային բևեռում, ապա առաջին հավասարումը անորոշ է: Եթե նախնական ազիմութը ուղղված է Արևմուտք կամ Արևելք, ապա երկրորդ հավասարումը անորոշ է: եթե երկարժեք atan2 ֆունկցիայի տեսակն է օգտագործվում, ապա այս արժեքները սովորաբար գործածվում են ճիշտ:
Վինսենթի ձևափոխությունը
խմբագրելԱյս նամակում, ուղղված Survey Review-ին 1976 թ , Վինսեթը առաջարկեց փոխարինել իր արտահայտությունները A-ով և B-ով, մի պարզ բանաձևով, օգտագորխելով Հելմերթի ընդարձակ պարամետրը` k1:
որտեղ
Մոտավոր տրամագծորեն հակառակ կետերը
խմբագրելԻնպես վերը նշվեց, հակառակ պրոբլեմի ինտերատիվ լուծումը դառնում է զուգադիմված կամ դանդաղորեն զուգադիմում է մոտավոր տրամագծորեն հակառակ կետերին: Դանդաղ զուգադիպման օրինակ է հանդիսանում (φ1, L1) = (0°, 0°) և (φ2, L2) = (0.5°, 179.5°) WGS84 էլիփսոիդի համար: Սա պահանջում է մոտավորապես 130 իտերատիաներ, 1 mm արդյունքի հասնելուն համար: Կախված նրանից, թե ինչպես է կարգավորված մեթոդը կիրառվում ալգորիթմը կարող է վերադարձնել ճիշտ արդյունքի,(19936288.579 m), ոչ ճիշտ աևդյունքի կամ սխալ ինդիկատորի: Ոչ ճիշտ արդյունքի օրինակը ներկայացվում է NGS online utility-ի կողմից, որը բերում է տարածության մոտ 5 km, որը շատ երկար է: Այս դեպքերում Վինսենթը առաջարկում է զուգադիպման արագացնող մեթոդը (Rapp, 1973):
Զուգատիպման կարգավորվող մեթոդի ձախողումը (φ1, L1) = (0°, 0°) է և (φ2, L2) = (0.5°, 179.7°), WGS84 էլիթսոիդի համար: Մի ոչ տպագրված հաշվետվության մեջ Վինսենթը (1975b) ներայացրե իտերատիվ սխեմայի այլընտրանքային տարբերակ` այսպիսի դեպքերը կարգավորելու համար: Սա բերում է ճիշտ արդյունքի 19944127.421 m, մոտավորապես 60 իտերատիայի; այնուամենայնիվ ուրիշ դեպքերում հազարավոր իտերացիաներ կարող են գոյություն ունենալ:
Նյութոնի մեթոդը հաջողությամբ օգտագործվեց արագ զուգադիպումների ժամանակ բոլոր զույգերի ներմուծած միավորների համար (Կարնի, 2011).
Տեղեկագրություն
խմբագրել- Bessel, F. W. (2010). «The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements (1825)». Astron. Nachr. 331 (8): 852–861. arXiv:0908.1824. doi:10.1002/asna.201011352. English translation of Astron. Nachr. 4, 241–254 (1825).
{{cite journal}}
: CS1 սպաս․ postscript (link) - Helmert, F. R. (1964). Mathematical and Physical Theories of Higher Geodesy, Part 1 (1880). St. Louis: Aeronautical Chart and Information Center. Վերցված է 2011-07-30-ին. English translation of Die Mathematischen und Physikalischen Theorieen der Höheren Geodäsie, Vol. 1 (Teubner, Leipzig, 1880).
{{cite book}}
: CS1 սպաս․ postscript (link) - Karney, C. F. F. (2011). Geodesics on an ellipsoid of revolution (Technical report). arXiv:1102.1215. Վերցված է 2011-08-01-ին.
{{cite tech report}}
: Unknown parameter|month=
ignored (օգնություն) - Legendre, A. M. (1806). «Analyse des triangles tracės sur la surface d'un sphėroïde». Mém. de l'Inst. Nat. de France (1st sem.): 130–161. Վերցված է 2011-07-30-ին.
- Rainsford, H. F. (1955). «Long geodesics on the ellipsoid». Bull. Géod. 37 (1): 12–22. doi:10.1007/BF02527187.
- Rapp, R. H. (1993). Geometric Geodesy, Part II (Technical report). Ohio State University. Վերցված է 2011-08-01-ին.
{{cite tech report}}
: Unknown parameter|month=
ignored (օգնություն) - Vincenty, T. (1975a). «Direct and Inverse Solutions of Geodesics on the Ellipsoid with application of nested equations» (PDF). Survey Review. XXIII (misprinted as XXII) (176): 88–93. Վերցված է 2009-07-11-ին.
{{cite journal}}
: Unknown parameter|month=
ignored (օգնություն) - Vincenty, T. (1976). «Correspondence». Survey Review. XXIII (180): 294.
{{cite journal}}
: Unknown parameter|month=
ignored (օգնություն) - Vincenty, T. (1975b). Geodetic inverse solution between antipodal points (PDF) (Technical report). DMAAC Geodetic Survey Squadron. Վերցված է 2011-07-28-ին.
{{cite tech report}}
: Unknown parameter|month=
ignored (օգնություն) - Geocentric Datum of Australia (GDA) Reference Manual (PDF). Intergovernmental committee on survey and mapping (ICSM). 2006. ISBN 0-9579951-0-5. Վերցված է 2009-07-11-ին.
{{cite book}}
: Unknown parameter|month=
ignored (օգնություն)
Արտաքին հղումներ
խմբագրել- Online calculators from Geoscience Australia:
- Vincenty Direct (destination point)
- Vincenty Inverse (distance between points)
- Calculators from the U.S. National Geodetic Survey:
- Online and downloadable PC-executable calculation utilities, including forward (direct) and inverse problems, in both two and three dimensions (accessed 2011-08-01).
- Online calculators with JavaScript source code by Chris Veness (Creative Commons Attribution license):
- Vincenty Direct (destination point)
- Vincenty Inverse (distance between points)
- GeographicLib provides a utility Geod (with MIT/X11 licensed source code) for solving direct and inverse geodesic problems. Compared to Vincenty, this is about 1000 times more accurate (error = 15 nm) and the inverse solution is complete. Here is an online version of Geod.
- ↑ σ isn't evaluated directly from sin σ or cos σ to preserve numerical accuracy near the poles and equator
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 The arctan quantity should be evaluated using a two argument atan2 type function.
- ↑ If sin σ = 0 the value of sin α is indeterminate. It represents an end point equal to, or diametrically opposite the start point.
- ↑ Start and end point are on the equator. In this case C = 0 so the value of is not used. The limiting value is .