Մասնակից:Զարա Օրդյան/Ավազարկղ

Խտության մատրիցան (խտության օպերատոր, խտության մատրիցայի օպերատոր, վիճակագրական օպերատոր)՝ քվանտային մեխանիկական համակարգի վիճակը նկարագրելու տարբերակներից մեկն է: Ի տարբերուտյուն ալիքային ֆունկցիայի, որը նկարագրում է միայն մաքուր վիճակները, խտության օպերտորը հավասարապես կարող է նկարագրել և մաքուր և խառը վիճակները: Հիմնվելով խտության օպերատորի հայեցակարգի վրա ֆորմալիզմը միմյանցից անկախ առաջարկել են՝ Լ. Դ. Լանդաուն և Ջ. ֆոն Նեյմանը 1927 թվականին և Ֆ. Բլոխը 1946 թվականին:

Սահմանում

Խտության օպերատորը՝ ոչ բացասական ինքնագոյացող, մեկ հետքով օպերատոր է,որը գործում է առանձնացված հիլբերտյան տարածքում: Հավասար հետքի միավորը համապատասխանում է լիարժեք հավանականության միավորի նորմալացմանը տվյալ պայմանական տարածքում:

В качестве стандартного обозначения для оператора плотности применяется буква $\rho$. Оператором плотности, отвечающим чистому состоянию $|\psi \rangle ,$ является ортогональный проектор

$\rho ^{2}=\rho ,$

что позволяет его представить в виде

$\rho =|\psi \rangle \langle \psi |$.

Смешанное состояние, отвечающее случаю, когда система находится в каждом из взаимно ортогональных состояний $|\psi _{j}\rangle$ с вероятностью $p_{j}$, описывается оператором плотности вида

$\rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|,$

где

$\sum _{j}p_{j}=1.$

Среднее значение наблюдаемой $A$ для состояния, заданного матрицей плотности $\rho$, представляет собой след произведения операторов $A$ и $\rho$:

$\langle A\rangle =\operatorname {Tr} (A\rho )$.

Несложно видеть, что обычное правило нахождения средней от наблюдаемой для чистых состояний представляет собой частный случай этой формулы.

Свойства

• Производная по времени от оператора плотности гамильтоновой квантовой системы выражается через коммутатор с гамильтонианом в виде уравнения

  ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}[{\mathcal {H}},\rho ]$

Это уравнение часто называется квантовым уравнением Лиувилля и уравнением фон Неймана.

• След матрицы плотности равен единице в силу нормировки полной вероятности:

  $\operatorname {Tr} (\rho )=1$

• След квадрата матрицы плотности равен единице для чистых состояний и всегда меньше единицы для смешанных:

  $\operatorname {Tr} (\rho ^{2})<1$   и   $\operatorname {Tr} (\rho ^{2})=1\iff \exists |\psi \rangle :\rho =|\psi \rangle \langle \psi |$

Применение

Использование оператора плотности становится необходимым, если состояние квантовомеханической системы по тем или иным причинам не может быть рассмотрено как чистое. Такое положение имеет место, в частности, в квантовой статистике. При этом оператор плотности оказывается естественным аналогом фигурирующей в классической статистической механике функции распределения плотности в фазовом пространстве. Кроме того, существует трактовка квантовомеханической процедуры измерения как перехода из исходного чистого состояния $|\psi \rangle$ в смешанное состояние

$\rho =\sum _{j}|e_{j}\rangle |\langle e_{j}|\psi \rangle |^{2}\langle e_{j}|$,

где $|e_{j}\rangle$ суть отвечающие выбранному полному набору измеряемых величин базисные векторы.

Последнее является частным случаем описания открытых квантовых систем, к которым относятся в том числе системы, подверженные наблюдению извне. Вообще говоря, формализм описания открытых систем, взаимодействующих с окружающей средой, с помощью матрицы плотности полезен при исследовании явления декогеренции, когда состояние системы не может рассматриваться как чистое, а само явление приводит к распаду вне-диагональных матричных элементов оператора плотности (в базисе собственных значений оператора взаимодействия) и, соответственно, к переходу системы в смешанное состояние.

Մաքուր և խառը պայմաններ

Կաղապար:Переписать раздел В квантовой механике состояние квантовой системы может быть описано вектором состояния (или кет) $|\psi \rangle$. В этом случае говорят о чистом состоянии. Однако, также возможно для системы в статистическом ансамбле различных векторов состояния: например, может быть 50 % вероятности того, что вектор состояния $|\psi _{1}\rangle$ и 50 % вероятность того, что вектор состояния $|\psi _{2}\rangle$. Эта система будет в смешанном состоянии. Матрицы плотности особенно полезны для смешанных состояний, поскольку любое состояние, чистое или смешанное, можно охарактеризовать матрицей плотности.

Смешанное состояние отличается от квантовой суперпозиции. На самом деле, квантовая суперпозиция чистого состояния — это другое чистое состояние, например $|\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}}$. С другой стороны, примером смешанного состояния $A$ будет $A=(|\psi _{1}\rangle +e^{i\theta }|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}}$, где $\theta$ является вещественным числом, которое изменяется случайным образом между различными фотонами.

См. также

• Теория функционала плотности

Литература

• Белоусов Ю. М., Манько В. И. Матрица плотности. Представления и применения в статистической механике. — М.: МФТИ, 2004. — 163 с.
• Блум К. Теория матрицы плотности и её приложения. — М.: Мир, 1983. — 248 с.
• Бондарев Б. В. Метод матриц плотности в квантовой теории кооперативных явлений. — М.: Спутник+, 2001. — 250 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М.: Мир, 1990. — 720 с.
• Կաղապար:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика — § 14.
• Местечкин М. М. Метод матрицы плотности в теории молекул. — К.: Наукова думка, 1977. — 352 с.
• фон Нейман Дж. Математические основы квантовой механики. — М.: Наука, 1964. — 368 с.