Հավանականության բաշխում

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Բաշխում (այլ կիրառումներ)

Հավանականության բաշխում կամ պարզապես բաշխում, հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության հիմնական գաղափարներից։ Պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը (կամ հավանականությունների բաշխման օրենքը) տրվում է նրա $F(x)=P(\xi <x)$ բաշխման ֆունկցիայով կամ այնպիսի բնութագրով, որի օգնությամբ որոշակի կանոններով կարող է ստացվել նշված բաշխման ֆունկցիան։ Այսպես, հավանականությունների բաշխում․ կարող է տրվել $x_{1}<\xi <x_{2}$ անհավասարության հավանականությունը ներկայացնող $P(x_{1},x_{2})$ միջակայքի ֆունկցիայով։ Այդ դեպքում նրա բաշխման ֆունկցիան որոշվում է $>F(x)=P(-\infty <\xi <x)=P(-\infty ,x)$ բանաձևով։ Ընդհատ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը տրվում է այդ մեծության հնարավոր $x_{1},x_{2},...,x_{n},...$ արժեքների և նրանց համապատասխան $P_{1},P_{2},...,P_{n},...$ հավանականությունների նշմամբ, որտեղ $P_{n}\geq 0$ և $\sum _{n=1}^{\infty }P_{n}=1$։ Այդ դեպքում $F(x)=\sum _{n}P_{n}=1$, որտեղ գումարը տարածվում է այն $n$–երի վրա, որոնց համար $x_{n}<x$։ Անընդհատ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը տրվում է նրա $P(x)$ բաշխման խտությամբ, որտեղ $P(x)\geq 0$; $\int _{-\infty }^{+\infty }P(x)dx=1$։ Այդ դեպքում $F(x)=\int _{-\infty }^{x}P(t)dt$։ Կամայական $\xi$ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը կարող է տրվել ուղղի ցանկացած բորելյան $E$ բազմության համար որոշված և $\xi$-ն $E$-ին պատկանելու հավանականությունը ներկայացնող $P(E)$ ֆունկցիայով։ Եթե $E$-ն $(-\infty ,x)$ միջակայքն է, ապա $F(x)=P(E)$։

Հավանականությունների ընտրովի բաշխումը որոշվում է պատահական մեծության հետ արված $n$ թվով անկախ փորձերի արդյունքում ստացված $x_{1},x_{2},...,x_{n}$-երի ընտրությամբ։ Այն տրվում է բաշխման ընտրովի $F_{n}^{*}(x)$ ֆունկցիայով, որպես ընտրության մեջ $x$-ից փոքր արժեքների հաճախականություն, այսինքն՝ $F_{n}*(x)={\frac {m(x)}{n}}$․ Երկչափ $(\xi ,\eta )$ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը տրվում է նրա $F(x,y)=P(\xi <x\cap \eta <y)$ բաշխման ֆունկցիայով։ Մասնավորաբար, երկչափ ընդհատ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը տրվում է հնարավոր $(x_{n},y_{m})$ զույգերի բազմության և համապատասխան $P_{nm}=P(\xi =x_{n}\cap \eta =y_{m}),n,m=l,2,...$ հավանականությունների նշմամբ, ընդ որում $F(x,y)=\sum _{n}\sum _{m}P_{nm}$, որտեղ գումարները տարածվում են այն $n$-երի և $m$-երի վրա, որոնց համար $x_{n}<x,y_{m}<y$։ Երկչափ անընդհատ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը տրվում է նրա $P(x,y)$ խտության բաշխմամբ, այնպես որ $F(x,y)=\int _{-\infty }^{x}\int _{-\infty }^{y}P(x,y)dxdy$։ Կամայական երկչափ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը կարող է տրվել հարթության բոլոր բորելյան բազմությունների համար որոշված և $(\xi ,\eta )$ կետը $E$-ին պատկանելու հավանականությունը ներկայացնող $P(E)$ ֆունկցիայով։ Եթե $E$-ն համընկնում է $(-\infty ,x;-\infty ,y)$ երկչափ միջակայքի հետ, ապա $F(x,y)=P(E)$։

Սահմանում

Սահմանում 1. Ենթադրենք տրված է $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ հավանականային հարթություն, և դրա վրա որոշված է $X:\Omega \to \mathbb {R}$ պատահակական մեծություն։ Հիմնականում $X$-ը համարվում է $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ չափելի հարթության չափելի ֆունկցիա $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, որտեղ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ չափելի հարթության մեջ, նշանակում է Բորելյան բազմությունը $\mathbb {R}$-ով։ Այդ դեպքում $X$ պատահական մեծությունը առաջացնում է $\mathbb {P} ^{X}$ հավանականային մեծություն $\mathbb {R}$-ի վրա հետևյալ եղանակով՝

$\mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X^{-1}(B)),\;\forall B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).$

$\mathbb {P} ^{X}$ մեծությունը կոչվում է պատահական $X$ մեծության բաշխում։ Այլ կերպ ասած, $\mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X\in B)$, այդպիսով $\mathbb {P} ^{X}(B)$ սահմանում է այն բանի հավանականությունը, որ $X$ պատահական մեծությունը ընկնում է $B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ բազմության մեջ։

Բաշխում առաջադրելու եղանակներ

Սահմանում 2. Ֆունկցիա $F_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}((-\infty ,x])=\mathbb {P} (X\leqslant x)$ կոչվում է $X$ պատահական մեծության (կոմուլյատիվ) ֆունկցիայի բաշխում։ Հավանականության հատկություններից բխում է

Թեորեմ 1. $F_{X}(x)$ բաշխման ֆունկցիան ցանկացած պատահական մեծության բավարարում է հետևյալ երեք հատկություններով։

1. $F_{X}$—սկզբնական ֆունկցիա,
2. $\lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0,\;\lim _{x\to \infty }F_{X}(x)=1$;
3. $F_{X}$ անընդհատ է աջից։

Այն փաստից, որ Բորելյան բազմությունը իրական թվերի մեջ առաջանում է $\{(-\infty ,x]\}_{x\in \mathbb {R} }$ տիպի ինտերվալների ընտանիքից, հետևում է

Թեորեմ 2. Ցանկացած $F(x)$ ֆունկցիա, որը բավարարում է վերը նշված երեք հատկություններին, համարվում է ինչ-որ $\mathbb {P} ^{X}$-ի (բաշխում) բաշխման ֆունկցիա։

Հավանականությունների բաշխումների համար, որոնք ունեն որոշակի հատկություններ, կան ավելի առաջադրելու համար հարմարավետ եղանակներ։

Դիսկրետ բաշխում

Սահմանում 3. Պատահական մեծությունը համարվում է պարզ կամ դիսկրետ, եթե այն ընդունում է ոչ ավելի, քան հաշվելի թվերի նշանակությունը։ Այսինքն՝ $X(\omega )=a_{i},\;\forall \omega \in A_{i}$, որտեղ $\{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }$՝ $\Omega$ մասնատում։

Այդ դեպքում պարզ պատահական մեծության բաշխումը տրվում է $\mathbb {P} ^{X}(B)=\sum _{i:a_{i}\in B}\mathbb {P} (A_{i})$: Նշանակելով $p_{i}=\mathbb {P} (A_{i})p(a_{i})=p_{i}$՝ կարելի է նշանակել $p(a_{i})=p_{i}$: Ակնհայտ է, որ $\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1$: Օգտագործելով $\mathbb {P}$ թվային ադիտիվություն, հեշտությամբ ցույց կտանք, որ այդ ֆունկցիան միանշանակ սահմանում է $X$-ը։

Սահմանում 4. Ֆունկցիա $p(a_{i})=p_{i}$, որտեղ $\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1$ հաճախ անվանում են դիսկրետ բաշխում։

Օրինակ 1. Ենթադրենք $p$ ֆունկցիան նշանակված է այնպես, որ $p(-1)={\frac {1}{2}}$ և $p(1)={\frac {1}{2}}$: Այդ ֆունկցիան ունի $X$, որի համար $\mathbb {P} (X=\pm 1)={\frac {1}{2}}$ (Բերնուլլի բաշխում)։

Թեորեմ 3. Դիսկրետ բաշխումն ունի հետևյալ հատկությունները.

1. $p_{i}\geqslant 0$

2. $\sum _{i=1}^{n}p_{i}=1$

Վանդակավոր բաշխում

Սահմանում 5. Վանդակավոր են կոչվում ֆունկցիայի դիսկրետ բաշխմամբ բաշխումները, և ֆունկցիայի բաշխման խզման կետից ստեղծում են $a+nh$, որտեղ $a$-ն իրական թիվ է, $h>0,n$-ը ամբողջ թիվ է։

Օրինակ 2. Պուասոնի բաշխում համարվում է վանդակավոր։

Օրինակ 3. Բինոմական բաշխումը համարվում է վանդակավոր։

Թեորեմ 4. Որպեսզի $F$ ֆունկցիայի բաշխումը լինի վանդակավոր $h$ քայլով, անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի դրա բնութագրիչ $f$ ֆունկցիան բավարարի $|f(2\pi /h)|=1$ պայմանին։

Ապացույց։

Անհրաժեշտ պայման։ Նշանակենք $\left\{a+nh\right\}$ բազմություն, որը պարունակում է $F$ ֆունկցիայի բոլոր խզման կետերը և $p_{n}=F(a+nh)-F(a+nh-0)$: Այդ դեպքում $f(t)=\sum _{n}p_{n}\exp \left[i(a+nh)t\right]$: Հետևում է $f({\frac {2\pi }{h}})=\exp(i{\frac {2\pi a}{h}})$ և $\left|f({\frac {2\pi }{h}})\right|=1$:

Բավարար պայման։ Եթե $\left|f({\frac {2\pi }{h}})\right|=1$, ապա $f({\frac {2\pi }{h}})=\exp(i{\frac {2\pi a}{h}})$ ինչ-որ $a$ իրական թվի համար։ Այդ դեպքում $\int \exp \left[{\frac {i2\pi (x-a)}{h}}\right]dF(x)=1$։ Այս հավասարությունից հետևում է $\int (1-\cos \left[{\frac {2\pi (x-a)}{h}}\right])dF(x)=0$: Ֆունկցիայի տակ գտնվող ֆունկցիայի ոչ բացասականության դեպքում, $\left\{x:1-\cos \left[{\frac {2\pi (x-a)}{h}}\right]>0\right\}$ բազմության չափը հավասար է զրոյի։ Այդպիսով $F$ ֆունկցիայի բաշխումը կարող է ունենալ սեփական բարձրության կետերով կետեր միայն $\left\{a+nh\right\}$ բազմությունից։ Այս թեորեմի հետևանքն է վանդակավոր բաշխման հետևյալ հատկությունները։ Եթե $F$ ֆունկցիայի $h$ քայլով վանդակավոր բաշխումը համարվում է $F_{1}$ և $F_{2}$ ֆունկցիաների բաշխման շղթա $F=F_{1}*F_{2}$, ապա $F_{1}$-ը և $F_{2}$-ը նույնպես համարվում են վանդակավոր $h$ քայլով։

Ապացույց։ Նշանակենք $f,f_{1},f_{2}$ բնութագրիչ ֆունկցիաներով $F,F_{1},F_{2}$ ֆունկցիաների բաշխումները։ Այդ դեպքում $\left|f_{1}({\frac {2\pi }{h}})\right|\left|f_{2}({\frac {2\pi }{h}})\right|=\left|f({\frac {2\pi }{h}})\right|$: Քանի որ ցանկացած բնութագրիչ ֆունկցիայի մոդուլը իրական թվերի առանցքի վրա չի գերազանցում $1$-ը, ապա $\left|f_{1}({\frac {2\pi }{h}})\right|=\left|f_{2}({\frac {2\pi }{h}})\right|=1$ և ապացույցը ավարտված է։

Անընդհատ բաշխումներ

Անընդհատ բաշխումը ատոմներ չունեցող բաշխում է։

Բացարձակապես անընդհատ բաշխում

Բացարձակապես անընդհատ անվանում են այն բաշխումները, որոնք ունեն հավանականության խտություն։ Այդպիսի բաշխումների կոմուլյատիվ ֆունկցիաները բացարձակ անընդհատ են Լեբեգի իմաստով։

Սահմանում 6. $X$ պատահական մեծության բաշխումը կոչվում է բացարձակապես անընդհատ, եթե կա ոչ բացասական այնպիսի $f_{X}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}$ ֆունկցիա, որ $\mathbb {P} ^{X}(B)\equiv \mathbb {P} (X\in B)=\int \limits _{B}f_{X}(x)\,dx$: $f_{X}$ ֆունկցիան այդ դեպքում կոչվում է $X$ պատահական մեծության բաշխման խտություն։

Օրինակ 4. Ենթադրենք $f(x)=1$, երբ $0\leqslant x\leqslant 1$, և $0$՝ հակառակ դեպքում։ Այդ ժամանակ $\mathbb {P} (a<X<b)=\int \limits _{a}^{b}1\,dx=b-a$, եթե $(a,b)\subset [0,1]$:

Ակնհայտ է, որ ցանկացած $f_{X}$ խտության բաշխման համար $\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx=1$ ճիշտ է։ Ճիշտ է նաև հակադարձ պնդումը։

Թեորեմ 5. Եթե $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ֆունկցիան այնպիսին է, որ

1. $f(x)\geqslant 0,\;\forall x\in \mathbb {R}$;
2. $\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1$,

ապա գոյություն ունի $\mathbb {P} ^{X}$ բաշխում այնպիսին, որ $f(x)$-ը համարվում է դրա խտությունը։

Նյուտոնի-Լեյբնիցի բանաձևի ուղղակի կիրառումը հանգեցնում է պարզ հարաբերության կոմուլյատիվ ֆունկցիայի և բացարձակ անընդհատ բաշխման խտության միջև։

Թեորեմ 6. Եթե $f(x)$-ը բաշխման անընդհատ խտությունն է, իսկ $F(x)$-ը նրա կոմուլյատիվ ֆունկցիան, ապա

1. $F'(x)=f(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ,$
2. $F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$։

Էմպիրիկ տվյալներով բաշխման կառուցման ժամանակ պետք է խուսափել հաշվարկի կլորացման սխալանքից։

Սինգուլյար բաշխում

Սինգուլյար են կոչվում այն բաշխումները, որոնք կենտրոնացած են զրոյական չափողականության բազմության վրա (սովորաբար Լեբեգի չափ)։

Գրականություն

• Рамачандран Б. Теория характеристических функций. — М.: Наука, 1975. — 224 с.

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 2, էջ 293)։

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Հավանականության բաշխում» հոդվածին։