Հաշվելի բազմություն

Մաթեմատիկայում, բազմությունը կոչվում է հաշվելի, եթե այն վերջավոր է կամ այն փոխմիարժեք համապատասխանություն ունի բնական թվերի բազմության հետ^{[Ն 1]}։ Համարժեքորեն, բազմությունը հաշվելի է, եթե գոյություն ունի ինյեկցիա այդ բազմությունից դեպի բնական թվեր․ սա նշանակում է, որ բազմության յուրաքանչյուր անդամի համապատասխանում է եզակի բնական թիվ, կամ որ բազմության անդամները կարելի է մեկ-մեկ հաշվել՝ չնայած հաշվարկը կարող է երբեք չավարտվել, քանի որ անդամների քանակը անվերջ է։

Ավելի ֆորմալ սահմանմամբ, ընթադրելով հաշվելի ընտրության աքսիոմը, բազմությունը հաշվելի է, եթե դրա հզորությունը (բազմությունում անդամների քանակը) ավելի մեծ չէ, քան բնական թվերինը։ Անվերջ հաշվելի բազմությունները կոչվում են հաշվելի անվերջ բազմություններ։

Գեորգ Կանտորը ապացուցել է անհաշվելի բազմությունների գոյությունը (բազմություններ, որոնք հաշվելի չեն, օրինակ՝ իրական թվերի բազմությունը)։

Սահմանում խմբագրել

$S$ բազմությունը հաշվելի է, եթե՝

Բազմության $|S|$ հզորությունը ավելի փոքր կամ հավասար է $\aleph _{0}$ -ին` $\mathbb {N}$ բնական թվերի հզորությանը^[1]։
Գոյություն ունի ինյեկտիվ ֆունկիցա $S$ -ից դեպի $\mathbb {N}$ ^[2]^[3]։
$S$ -ը դատարկ է կամ գոյություն ունի սյուրյեկցիա $\mathbb {N}$ -ից դեպի $S$ ^[3]։
$S$ -ի և $\mathbb {N}$ -ի որևէ ենթաբազմության մեջ գոյություն ունի փոխմիարժեք համապատասխանություն^[4]։
$S$ -ը կամ վերջավոր է ( $|S|<\aleph _{0}$ ) կամ հաշվելի անվերջ։

Այս բոլոր սահմանումները համարժեք են։

$S$ բազմությունը հաշվելի անվերջ է, եթե՝

Բազմության $|S|$ հզորությունը հավասար է $\aleph _{0}$ -ի^[1]։
Գոյություն ունի ինյեկցիա և սյուրյեկցիա (հետևաբար՝ բիյեկցիա) $S$ -ի և $\mathbb {N}$ -ի միջև։
$S$ -ը և $\mathbb {N}$ -ը ունեն փոխմիարժեք համապատասխանություն^[5]։
$S$ -ի անդամները կարելի է դասավորել $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$ հաջորդականությամբ, որտեղ $a_{i}$ -ը տարբեր է $a_{j}$ -ից կամայական $i\neq j$ -ի համար և $S$ -ի յուրաքանչյուր անդամ գտնվում է հաջորդականությունում^[6]^[7]։

Բազմությունը կոչվում է անհաշվելի անվերջ, եթե այն հաշվելի չէ, այսինքն՝ բազմության հզորությունը մեծ է $\aleph _{0}$ -ից^[1]։

Նշումներ խմբագրել

↑ Քանի որ $\mathbb {N}$ -ի և $\mathbb {N} ^{*}=\{1,2,3,\dots \}$ -ի միջև գոյություն ունի ակնհայտ փոխմիարժեք համապատասխանություն, տարբերություն չկա թե արդյոք 0-ն դիտարկվում է որպես բնական թիվ։ Ցանկացած դեպքում, այս հոդվածը հետևում է ISO 31-11-ին և մաթեմատիկական տրամաբանության ստանդարտ սովորույթին՝ ըստ որի 0-ն համարվում է բնական թիվ։

Ծանոթագրություններ խմբագրել

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Yaqub, Aladdin M. (2014 թ․ հոկտեմբերի 24). An Introduction to Metalogic (անգլերեն). Broadview Press. ISBN 978-1-4604-0244-3.
↑ Singh, Tej Bahadur (2019 թ․ մայիսի 17). Introduction to Topology (անգլերեն). Springer. էջ 422. ISBN 978-981-13-6954-4.
↑ ^3,0 ^3,1 Katzourakis, Nikolaos; Varvaruca, Eugen (2018 թ․ հունվարի 2). An Illustrative Introduction to Modern Analysis (անգլերեն). CRC Press. ISBN 978-1-351-76532-9.
↑ Halmos 1960, p. 91
↑ Kamke 1950, p. 2
↑ Dlab, Vlastimil; Williams, Kenneth S. (2020 թ․ հունիսի 9). Invitation To Algebra: A Resource Compendium For Teachers, Advanced Undergraduate Students And Graduate Students In Mathematics (անգլերեն). World Scientific. էջ 8. ISBN 978-981-12-1999-3.
↑ Tao 2016, էջ. 182

[ZeroN-1] Քանի որ $\mathbb {N}$ -ի և $\mathbb {N} ^{*}=\{1,2,3,\dots \}$ -ի միջև գոյություն ունի ակնհայտ փոխմիարժեք համապատասխանություն, տարբերություն չկա թե արդյոք 0-ն դիտարկվում է որպես բնական թիվ։ Ցանկացած դեպքում, այս հոդվածը հետևում է ISO 31-11-ին և մաթեմատիկական տրամաբանության ստանդարտ սովորույթին՝ ըստ որի 0-ն համարվում է բնական թիվ։

[Yaqub-2] 1,0 ^1,1 ^1,2 Yaqub, Aladdin M. (2014 թ․ հոկտեմբերի 24). An Introduction to Metalogic (անգլերեն). Broadview Press. ISBN 978-1-4604-0244-3.

[Singh-3] Singh, Tej Bahadur (2019 թ․ մայիսի 17). Introduction to Topology (անգլերեն). Springer. էջ 422. ISBN 978-981-13-6954-4.

[Katzourakis-4] 3,0 ^3,1 Katzourakis, Nikolaos; Varvaruca, Eugen (2018 թ․ հունվարի 2). An Illustrative Introduction to Modern Analysis (անգլերեն). CRC Press. ISBN 978-1-351-76532-9.

[5] Halmos 1960, p. 91

[6] Kamke 1950, p. 2

[7] Dlab, Vlastimil; Williams, Kenneth S. (2020 թ․ հունիսի 9). Invitation To Algebra: A Resource Compendium For Teachers, Advanced Undergraduate Students And Graduate Students In Mathematics (անգլերեն). World Scientific. էջ 8. ISBN 978-981-12-1999-3.

[8] Tao 2016, էջ. 182

[Ն 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]