Հաշվարկ

Հաշվարկ, ցանկացած տեսակի թվաբանական կամ ոչ թվաբանական լավ սահմանված պնդում է^[1]^[2]։ Հաշվարկների ընդհանուր օրինակներն են` մաթեմատիկական հավասարումները և համակարգչային ալգորիթմները։

Մեխանիկական կամ էլեկտրոնային սարքերը (կամ, պատմականորեն, մարդիկ), որոնք կատարում են հաշվարկներ, հայտնի են որպես համակարգիչներ։ Հաշվարկների ուսումնասիրությունը հաշվողականության ոլորտ է, ինքնին համակարգչային գիտության և մաթեմատիկական տրամաբանության ենթաոլորտ։

Ներածություն խմբագրել

Այն գաղափարը, որ մաթեմատիկական պնդումները պետք է լինեն «լավ սահմանված», մաթեմատիկոսները պնդում էին առնվազն 1600-ականներից^[3], բայց հարմար սահմանման շուրջ համաձայնությունը անհասկանալի էր^[4]։ Սահմանում առաջարկվել է անկախ մի քանի մաթեմատիկոսների կողմից 1930-ականներին^[5]։ Ամենահայտնի տարբերակը ձևակերպվել է մաթեմատիկոս Ալան Թյուրինգի կողմից, ով սահմանել է լավ սահմանված հայտարարությունը կամ հաշվարկը որպես ցանկացած հայտարարություն, որը կարող է արտահայտվել Թյուրինգի մեքենայի սկզբնավորման պարամետրերի առումով^[6]։ Այլ (մաթեմատիկորեն համարժեք) սահմանումները ներառում են Ալոնզո Չերչի լամբդա-որոշելիությունը, Հերբրանդ-Գյոդել-Կլինի ընդհանուր ռեկուրսիվությունը և Էմիլ Փոստի 1-որոշելիությունը.^[5]:

Այսօր ցանկացած պաշտոնական հայտարարություն կամ հաշվարկ, որն արտահայտում է հստակ հստակության այս որակը, կոչվում է հաշվարկելի, մինչդեռ հայտարարությունը կամ հաշվարկն ինքնին կոչվում է հաշվարկ։

Թյուրինգի սահմանումը բաշխում է «լավ սահմանումը» մաթեմատիկական պնդումների շատ մեծ դասի, ներառյալ բոլոր լավ ձևավորված հանրահաշվական պնդումները և ժամանակակից համակարգչային ծրագրավորման լեզուներով գրված բոլոր հայտարարությունները^[4]։

Չնայած այս սահմանման լայն տարածմանը, կան որոշ մաթեմատիկական հասկացություններ, որոնք այս սահմանման համաձայն հստակ բնութագրում չունեն։ Սա ներառում է դադարեցման խնդիրը և զբաղված կավերի խաղը։ Մնում է բաց հարց, թե արդյոք կա «լավ սահմանված» հասկացության ավելի հզոր սահմանում, որն ի վիճակի է ընդգրկել ինչպես հաշվարկելի, այնպես էլ «չհաշվարկվող» հայտարարությունները^{[note 1]}^[7]։

Հաշվարկելի մաթեմատիկական հայտարարությունների որոշ օրինակներ ներառում են.

Բոլոր հայտարարությունները, որոնք բնութագրվում են ժամանակակից ծրագրավորման լեզուներով, ներառյալ Ս++, Փայտոն և Ջավա^[4]։
Բոլոր հաշվարկները կատարվում են էլեկտրոնային համակարգչի, հաշվիչի կամ աբակուսի միջոցով։
Բոլոր հաշվարկները կատարվում են վերլուծական շարժիչի վրա։
Բոլոր հաշվարկները կատարվում են Թյուրինգ մեքենայի վրա։
Մաթեմատիկայի դասագրքերում տրված մաթեմատիկական պնդումների և հաշվարկների մեծ մասը։

Մաթեմատիկական հայտարարությունների որոշ օրինակներ, որոնք հաշվարկելի չեն, ներառում են.

Հաշվարկներ կամ հայտարարություններ, որոնք անորոշ են, այնպես, որ դրանք չեն կարող միանշանակ կոդավորվել Թյուրինգի մեքենայի մեջ.
Խնդրի ենթադրություններ, որոնք, ըստ երևույթին, լավ սահմանված են, բայց որոնց համար կարելի է ապացուցել, որ դրանք լուծելու համար Թյուրինգի մեքենա գոյություն չունի (օրինակ՝ դադարեցման խնդիրը)։

Հաշվարկի ֆիզիկական գործընթացը խմբագրել

Հաշվարկը կարող է դիտվել որպես զուտ ֆիզիկական գործընթաց, որը տեղի է ունենում փակ ֆիզիկական համակարգի ներսում, որը կոչվում է համակարգիչ։ Թյուրինգի 1937 թվականի ապացույցը՝ «Հաշվարկելի թվերի մասին», ցույց տվեց, որ կա ֆորմալ համարժեքություն հաշվարկելի պնդումների և որոշակի ֆիզիկական համակարգերի միջև, որոնք սովորաբար կոչվում են համակարգիչներ։ Նման ֆիզիկական համակարգերի օրինակներ են՝ Թյուրինգի մեքենաները, խիստ կանոններին հետևող մարդ մաթեմատիկոսները, թվային համակարգիչները, մեխանիկական համակարգիչները, անալոգային համակարգիչները և այլն։

Հաշվարկների այլընտրանքային հաշիվներ խմբագրել

Քարտեզագրման հաշիվ խմբագրել

Հաշվարկների այլընտրանքային հաշիվը հայտնաբերվել է Հիլարի Փաթնամի և այլոց աշխատություններում։ Փիթեր Գոդֆրի-Սմիթը սա անվանել է «պարզ քարտեզագրման հաշիվ»^[8]։ Գուալտիերո Պիչինինիի այս հաշվի ամփոփագրում ասվում է, որ ֆիզիկական համակարգը կարող է ասել, որ կատարում է որոշակի հաշվարկ, երբ այդ համակարգի վիճակի և հաշվարկի միջև կա քարտեզագրում, որպեսզի «[համակարգի] միկրոֆիզիկական վիճակները արտացոլեն վիճակների անցումները հաշվողական վիճակներ»^[9]։

Իմաստային հաշիվ խմբագրել

Փիլիսոփաներ, ինչպիսիք են Ջերի Ֆոդորը^[10] առաջարկել են հաշվարկի տարբեր հաշիվներ՝ այն սահմանափակմամբ, որ իմաստային բովանդակությունը հաշվարկման համար անհրաժեշտ պայման է (այսինքն, կամայական ֆիզիկական համակարգը հաշվողական համակարգից տարբերում է այն, որ հաշվարկի օպերանդները ինչ-որ բան են ներկայացնում)։ Այս հասկացությունը փորձում է կանխել համահաշվողականության քարտեզագրման հաշվետվության տրամաբանական վերացականությունը, այն գաղափարը, որ ամեն ինչ կարելի է ասել, որ ամեն ինչ հաշվարկում է։

Մեխանիկական հաշիվ խմբագրել

Գուալտիերո Պիչինինին առաջարկում է մեխանիկական փիլիսոփայության վրա հիմնված հաշվարկի հաշիվ։ Այն նշում է, որ ֆիզիկական հաշվողական համակարգերը մեխանիզմների տեսակներ են, որոնք, ըստ նախագծման, կատարում են ֆիզիկական հաշվարկ կամ մանիպուլյացիա (ֆունկցիոնալ մեխանիզմով) «միջինից անկախ» մեքենայի համաձայն՝ ըստ կանոնի։ «Միջին անկախությունը» պահանջում է, որ գույքը կարող է ինստանցիոնացվել [պարզաբանել] բազմաթիվ իրագործողների և բազմաթիվ մեխանիզմների միջոցով, և որ մեխանիզմի մուտքերն ու ելքերը նույնպես բազմապատիկ իրացվելի լինեն։ Մի խոսքով, միջին անկախությունը թույլ է տալիս օգտագործել ֆիզիկական փոփոխականներ, որոնք ունեն այլ հատկություններ, քան լարումը (ինչպես սովորական թվային համակարգիչներում); Սա հրամայական է հաշվարկների այլ տեսակների դիտարկման համար, ինչպես օրինակ, որը տեղի է ունենում ուղեղում կամ քվանտային համակարգչում։ Կանոնն այս իմաստով ապահովում է ֆիզիկական հաշվողական համակարգի մուտքերի, ելքերի և ներքին վիճակների քարտեզագրում^[11]։

Մաթեմատիկական մոդելներ խմբագրել

Հաշվարկների տեսության մեջ մշակվել է հաշվարկի մաթեմատիկական մոդելների բազմազանություն։ Համակարգիչներին բնորոշ մաթեմատիկական մոդելները հետևյալն են.

Պետական մոդելներ, ներառյալ Թյուրինգի մեքենան, ավտոմատը, վերջավոր վիճակի ավտոմատը,
Ֆունկցիոնալ մոդելներ, ներառյալ լամբդա հաշվարկը,
Տրամաբանական մոդելներ, ներառյալ տրամաբանական ծրագրավորում,
Միաժամանակյա մոդելներ, ներառյալ գործող մոդելը և գործընթացի հաշվարկներ։

Գյունտին հաշվողական տեսության կողմից ուսումնասիրված մոդելներն անվանում է հաշվողական համակարգեր, և նա պնդում է, որ դրանք բոլորը մաթեմատիկական դինամիկ համակարգեր են՝ դիսկրետ ժամանակով և դիսկրետ վիճակի տարածությամբ^[12]։ Նա պնդում է, որ հաշվողական համակարգը բարդ օբյեկտ է, որը բաղկացած է երեք մասից։ Նախ՝ մաթեմատիկական դինամիկ համակարգ, դիսկրետ ժամանակի և դիսկրետ վիճակի տարածության հետ; երկրորդ՝ հաշվողական կարգավորում, որը կազմված է տեսական մասից, և իրական մասից; երրորդ՝ մեկնաբանություն, որը կապում է դինամիկ համակարգը տեղադրման հետ^[13]^:pp.179–80:

Նշումներ խմբագրել

↑ The study of non-computable statements is the field of hypercomputation.

Ծանոթագրություններ խմբագրել

↑ Computation from the Free Merriam-Webster Dictionary
↑ «Computation: Definition and Synonyms from Answers.com». Answers.com. Արխիվացված է օրիգինալից 2009 թ․ փետրվարի 22-ին. Վերցված է 2017 թ․ ապրիլի 26-ին.
↑ Couturat, Louis (1901). la Logique de Leibniz a'Après des Documents Inédits. Paris. ISBN 978-0343895099.
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 Davis, Martin; Davis, Martin D. (2000). The Universal Computer. W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-04785-1.
↑ ^5,0 ^5,1 Davis, Martin (1982 թ․ հունվարի 1). Computability & Unsolvability. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-61471-7.
↑ Turing, A.M. (1937) [Delivered to the Society November 1936]. «On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem» (PDF). Proceedings of the London Mathematical Society. 2. Vol. 42. էջեր 230–65. doi:10.1112/plms/s2-42.1.230.
↑ Davis, Martin (2006). «Why there is no such discipline as hypercomputation». Applied Mathematics and Computation. 178 (1): 4–7. doi:10.1016/j.amc.2005.09.066.
↑ Godfrey-Smith, P. (2009), «Triviality Arguments against Functionalism», Philosophical Studies, 145 (2): 273–95, doi:10.1007/s11098-008-9231-3, S2CID 73619367
↑ Piccinini, Gualtiero (2015). Physical Computation: A Mechanistic Account. Oxford: Oxford University Press. էջ 18. ISBN 9780199658855.
↑ Fodor, J. A. (1986), «The Mind-Body Problem», Scientific American, 244 (January 1986)
↑ Piccinini, Gualtiero (2015). Physical Computation: A Mechanistic Account. Oxford: Oxford University Press. էջ 10. ISBN 9780199658855.
↑ Giunti, Marco (1997). Computation, Dynamics, and Cognition. New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-509009-3.
↑ Giunti, Marco (2017), «What is a Physical Realization of a Computational System?», Isonomia -- Epistemologica, 9: 177–92, ISSN 2037-4348

[7] The study of non-computable statements is the field of hypercomputation.

[1] Computation from the Free Merriam-Webster Dictionary

[2] «Computation: Definition and Synonyms from Answers.com». Answers.com. Արխիվացված է օրիգինալից 2009 թ․ փետրվարի 22-ին. Վերցված է 2017 թ․ ապրիլի 26-ին.

[3] Couturat, Louis (1901). la Logique de Leibniz a'Après des Documents Inédits. Paris. ISBN 978-0343895099.

[Davis_Davis_2000_p.-4] 4,0 ^4,1 ^4,2 Davis, Martin; Davis, Martin D. (2000). The Universal Computer. W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-04785-1.

[Davis-5] 5,0 ^5,1 Davis, Martin (1982 թ․ հունվարի 1). Computability & Unsolvability. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-61471-7.

[6] Turing, A.M. (1937) [Delivered to the Society November 1936]. «On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem» (PDF). Proceedings of the London Mathematical Society. 2. Vol. 42. էջեր 230–65. doi:10.1112/plms/s2-42.1.230.

[8] Davis, Martin (2006). «Why there is no such discipline as hypercomputation». Applied Mathematics and Computation. 178 (1): 4–7. doi:10.1016/j.amc.2005.09.066.

[9] Godfrey-Smith, P. (2009), «Triviality Arguments against Functionalism», Philosophical Studies, 145 (2): 273–95, doi:10.1007/s11098-008-9231-3, S2CID 73619367

[10] Piccinini, Gualtiero (2015). Physical Computation: A Mechanistic Account. Oxford: Oxford University Press. էջ 18. ISBN 9780199658855.

[11] Fodor, J. A. (1986), «The Mind-Body Problem», Scientific American, 244 (January 1986)

[12] Piccinini, Gualtiero (2015). Physical Computation: A Mechanistic Account. Oxford: Oxford University Press. էջ 10. ISBN 9780199658855.

[13] Giunti, Marco (1997). Computation, Dynamics, and Cognition. New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-509009-3.

[14] Giunti, Marco (2017), «What is a Physical Realization of a Computational System?», Isonomia -- Epistemologica, 9: 177–92, ISSN 2037-4348

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[note 1]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]