Լոպիտալի կանոն

Լոպիտալի թեորեմ (նաև Լոպիտալ-Բեռնուլլի կանոն), մեթոդ, որով հաշվում են այն ֆունկցիաների սահմանները, որոնք պարունակում են $0/0$ և $\infty /\infty$ տեսքի անորոշություններ։ Թեորեմը պնդում է, որ որոշ պայմանների դեպքում ֆունկցիայում հարաբերության սահմանը հավասար է անդամների ածանցյալների հարաբերության սահմանին։

Գիյոմ Ֆրանսուա Լոպիտալ (1661-1704)

Ձևակերպումը

Եթե $f(x),\,g(x)$ ֆունկցիաները որոշված են որևէ $U$ տիրույթին պատկանող $a$ կետում, որտեղ $a$-ն իրական թիվ է կամ $+\infty ,-\infty ,\infty$ սիմվոլներից մեկը, ընդ որում

1. $\lim _{x\to a}{f(x)}=\lim _{x\to a}{g(x)}=0$ կամ $\infty$;
2. $g'(x)\neq 0$ $U$ տիրույթում;
3. գոյություն ունի $\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$;

ապա գոյություն ունի $\lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$։ Սահմանը կարող է լինել նաև միակողմանի։

Պատմություն

Նման անորոշությունների բացահայտման մեթոդը հրապարակվել է 1696 թվականին Գիյոմ Լոպիտալի հեղինակած «Analyse des Infiniment Petits» դասագրքում։ Իսկ մեթոդը առաջին անգամ հայտնաբերել է մաթեմատիկոս Իոհանն Բեռնուլլին։

Օրինակներ

• $\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}+5x}{3x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+5}{3}}={\frac {5}{3}}$
• $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{3}+4x^{2}+7x+9}{x^{3}+3x^{2}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}+8x+7}{3x^{2}+6x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {6x+8}{6x+6}}={\frac {6}{6}}=1$
  Այստեղ կարելի է Լոպիտալի կանոնը կիրառել 3 անգամ։ Բայց կարելի է վարվել նաև այլ կերպ․ անհրաժեշտ է համարիչը և հայտարարը բաժանել $x$ անհայտի ամենաբարձր աստիճանի վրա(այս դեպքում $x^{3}$). Այս օրինակը կլինի

  $\lim _{x\to \infty }{\frac {1+4/x+7/x^{2}+9/x^{3}}{1+3/x}}={\frac {1}{1}}=1$

• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{a}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots =\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a!}}=+\infty$ — կանոնը կիրառել $a$ անգամ;
• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{a}}{\ln {x}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {ax^{a-1}}{\frac {1}{x}}}=a\cdot \lim _{x\to +\infty }{x^{a}}=+\infty$ при $a>0$;
• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\int \limits _{x}^{+\infty }e^{-t^{2}}dt}{x^{-1}e^{-x^{2}}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {-e^{-x^{2}}}{-x^{-2}e^{-x^{2}}(1+2x^{2})}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{1+2x^{2}}}={\frac {1}{2}}$.

Հետևանք

Ենթադրենք $f(x)$ ֆունկցիան որոշված է $a$ կետում, և գոյություն ունի $\lim _{x\to a}f'(x)=A$, ապա $f(x)$ ֆունկցիան դիֆերենցելի է նաև $a$ կետում և $f'(a)=A$ (այսինքն $f'(x)$ անընդհատ է $a$ կետում)։ Ապացույցի համար բավարար է կիրառել Լոպիտալի կանոնը${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$ հարաբերության նկատմամբ։

Տես նաև

Լոպիտալի կանոնի անալոգն է հանդիսանում Շտոլցի թեորեման։