Էյլերի բանաձև

Էյլերի բանաձևը կապում է կոմպլեքս էքսպոնենտին եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ։ Անվանված է ի պատիվ Լեոնարդ Էյլերի, ով այն ստեղծել է։

Էյլերի բանաձևի երկրաչափական իմաստը

Էյլերի բանաձևը պնդում է, որ ցանկացած $x$ կոմպլեքս թվի (հիմնականում իրական ) համար տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$,

որտեղ $e$֊ն մաթեմատիկական կարևորագույն հաստատուններից մեկն է, որը սահմանում է հետևյալ բանաձևը՝ $e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$,

$i$֊ն կեղծ միավորն է։

Պատմություն

Էյլերի բանաձևը առաջին անգամ ներկայացվել է անգլիացի մաթեմատիկոս Ռոջեր Կոտսի (Իսահակ Նյուտոնի օգնական) «Լոգոմետրիա» (լատին․՝ Logometria) հոդվածում, որը հրատարակվել է «Թագավորական հասարակության փիլիսոփայական աշխատանքներ» ամսագրում 1714 թվականին և տպագրվել է «Չափողականության ներդաշնակություն» (լատին․՝ Harmonia mensurarum) գրքում, որը հրատարակվել է 1722 թվականին՝ հեղինակի մահից հետո։ Կոտսը դուրս է բերել բանաձևը որպես ոչ մեծ առաջարկություն բազմաթիվ երկրաչափական կառուցումների մեջ, որը ժամանակակից մաթեմատիկական լեզվով թարգմանությունից և նշանների սխալների ուղղումից հետո ունի հետևյալ տեսքը՝:

$\ln(\cos x+i\sin x)=ix$։

Էյլերը հոդվածում 1740 թվականին և «Անվերջ նվազողների մուտքագրում անալիզում» (լատին․՝ Introductio in analysin infinitorum) գրքում (1748) հրապարակել է բանաձևը իր սովորական տեսքով՝ ստեղծելով ապացույց աստիճանային շարքերում անվերջ բաժանվողների աջ և ձախ մասերի հավասարության համար։ Ո՛չ Էյլերը, ո՛չ Կոտսը չէին պատկերացնում բանաձևի երկրաչափական մեկնաբանումը․ հասկացողությունը կոմպլեքս թվերի մասին, որպես Կոմպլեքս հարթության վրայի կետեր, հայտնվեց մոտ 50 տարի անց՝ Գասպար Վեսսելի շնորհիվ։

Ածանցյալ բանաձևեր

Էյլերի բանաձևի շնորհիվ կարելի է որոշել $\sin$ և $\cos$ ֆունկցիաները հետևյալ եղանակով՝

$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$,

$\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$.

Այնուհետև կարելի է ներմուծել կոմպլեքս փոփոխականի եռանկյունաչափական ֆունկցիայի գաղափարը։ Ենթադրենք $x=iy$, այդ դեպքում։

$\sin iy={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}=i\mathop {\mathrm {sh} } \,y$,

$\cos iy={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\mathop {\mathrm {ch} } \,y$.

Հանրահայտ Էյլերի նույնությունը, որը կապում է մաթեմատիկական ֆունդամենտալ հինգ հաստատունները՝ 1, 0, i, pi, e

$e^{i\pi }+1=0$

համարվում է Էյլերի բանաձևի մասնավոր դեպք $x=\pi$ դեպքում։

Կիրառությունը կոմպլեքս անալիզում

Էյլերի բանաձևի շնորհիվ դուրս է բերվում կոմպլեքս թվի այսպես կոչվող եռանկյունաչափական և ընդհանուր տեսքը. $x=a+ib=|x|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|x|e^{i\varphi }$։

Նշանակալի հետևանք կարելի է համարել նաև կոմպլեքս թվի կամայական աստիճանով բարձրացումը՝ $x=|x|e^{i\varphi }$, $x^{n}=|x|^{n}e^{ni\varphi }$։ Տվյալ բանաձևի երկրաչափական իմաստը հետևյալն է․ $x$ թիվը $n$ աստիճանով բարձրացնելիս՝ նրա հեռավորությունը կենտրոնից բարձրացվում է $n$ աստիճան, իսկ շրջման անկյունը $OX$ առանցքում մեծանում է $n$ անգամ։

Աստիճանով բարձրացման բանաձևը ճիշտ է ոչ միայն $n$ ամբողջ թվերի համար, այլև՝ իրական թվերի։ Հիմնականում թվի ընդհանուր տեսքը թույլ է տալիս գտնել ցանկացած աստիճանի արմատներ ցանկացած կոմպլեքս թվից։

Փոխադարձ կապը եռանկյունաչափության հետ

Էյլերի բաանաձևը ներկայացնում է մաթեմատիկական անալիզի և եռանկյունաչափության միջև կապ, ինչպես նաև թույլ է տալիս սինուս և կոսինուս ֆունկցիաների ինտերպրետացիա, որպես էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի կախույթային արժեքներ:

$\cos x=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}$

$\sin x=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.$

Վերը նշված հավասարումները կարող են ստացվել Էյլերի բանաձևի բաժանման կամ հանման եղանակով

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\;$

$e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\;$

հետևող սինուսով կամ կոսինուսով լուծմամբ։

Ինչպես նաև այս բանաձևերը կարող են ծառայել կոմպլեքս փոփոխականով եռանկյունաչաափական ֆունկցիաների որոշմանը։ Օրինակ, կատարելով x = iy նշանակում, ստանում ենք՝

$\cos(iy)={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y)$

$\sin(iy)={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-{1 \over i}{e^{y}-e^{-y} \over 2}=i\sinh(y).$

Կոմպլեքս էքսպոնենտները թույլ են տալիս եռանկյունաչափական հաշվարկները պարզեցնել, քանի որ դրանցով ավելի հեշտ է կառավարել, քան սինուսոիդ կոմպոնենտներով։ Մոտեցումներից մեկը նախատեսում է էքսպոնենցիալ համապատասխան արտահայտության մեջ սինուսոիդ փոխարկում։ Օրինակ ՝

${\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}\cdot {\frac {(e^{iy}+e^{-iy})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\left[\underbrace {\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} _{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}} _{\cos(x-y)}\right].\end{aligned}}$

Մյուս մոտեցման իմաստը սինուսոիդ ֆունկցիայի ներկայացումն է իրական թվերում և մանիպուլյացիայի ձևակերպումը անմիջականորեն կոմպլեքս արտահայտության հետ։ Օրինակ՝

${\begin{aligned}\cos(nx)&=\mathrm {Re} \{\ e^{inx}\ \}=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix}+e^{-ix}-e^{-ix})\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace {(e^{ix}+e^{-ix})} _{2\cos(x)}-e^{i(n-2)x}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}$

Տրված բանաձևը օգտագործվում է n ամբողջ թվերով cos(nx)֊ի և կամավոր x նշանակությունների (ռադիաններով) ռեկուրսիվ հաշվարկման համար։

Ապացույց

Էյլերի բանաձևի ապացույցը կարելի է ներկայացնել Մակլորենի շարքը օգտագործելով։ $e^{ix}$ ֆունկցիան տեղադրելով Մակլորենի շարք a = 0 կետի մոտակայքում $x$ աստիճանով։ Կստանանք

$e^{ix}=1+{\frac {ix}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+\ldots =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)$

Բայց

$1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\cos x$

${\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sin x$

Այդ պատճառով $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

Կոմպլեքս թվի ընդհանուր տեսք

Կոմպլեքս թվերի ընդհանուր և եռանկյունաչափական տեսքերը կապված են միմյանց Էյլերի բանաձևով։

Ենթադրենք $z$ կոմպլեքս թիվը եռանկյունաչափական վիճակում ունի $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ տեսք։ Էյլերի բանաձևի հիմքի վրա փակագծերի արտահայտությունը կարելի է փոխարինել ընդհանուր տեսքով։ Արդյունքում կստանանք

$z=re^{i\varphi }$

Այս գրելաձևը կոչվում է կոմպլեքս թվի ընդհանուր տեսք։ Ինչպես եռանկյունաչափական տեսքում, այստեղ էլ $r=|z|$ , $\varphi =\arg z$.

Տես նաև

• Մուավրի բանաձև
• Լեոնարդ Էյլերի պատվին անվանված օբյեկտների ցանկ

Գրականություն

• Гутов А. З. Аналог формулы Эйлера для обобщённых синуса и косинуса // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. Орёл, 2006. С. 35—37. Արխիվացված 2020-09-25 Wayback Machine
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.
• Стиллвелл Д. Математика и её история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 530 с.