Բեսսելի ֆիլտր

Բեսսելի Ֆիլտր, էլեկտրոնիկայի և ազդանշանների մշակման առավել տարածված գծային ֆիլտր։ Ինչպես բոլոր գծային ֆիլտրերում, այս դեպքում էլ Բեսսելի ֆիլտրի մուտքային ազդանշանի վրա կիրառում են գծային օպերատոր, նպատակ ունենալով ճնշել կամ առանձնացնել ազդանշանի որոշակի հաճախություն։ Նրա առանձնահատկությունը առավելագույն հարթ խմբային հապաղման մեջ է(գծային փուլահաճախային բնութագիր), որը պահպանում է ֆիլտրված ազդանշանների ալիքների ձևը անցման շերտերում(այն տիրույթն է, որն անցնում է ֆիլտրի միջով) : Բեսսելի ֆիլտրը հաճախ օգտագործում են ձայնային տեխնոլոգիաներում։ Ֆիլտրն իր անվանումը ստացել է գերմանացի մաթեմատիկոս Ֆրիդրիխ Բեսսելի(1784–1846) պատվին, ով մշակել է մաթեմատիկական այն տեսությունը, որի վրա հիմնված է ֆիլտրը։ Այն անվանում են նաև Բեսսել-Թոմսոնի ֆիլտր։ Թոմսոնը աշխատել է այն ուղղությամբ, թե ինչպես պետք է կիրառել Բեսսելի ֆունկցիաները :

Փոխանցման ֆունկցիա

Ամպլիտուդահաճախային բնութագիրը և խմբային հապաղումը չորրորդ կարգի ցածր հաճախային Բեսսելի ֆիլտրի համար: Նշենք, որ ամպլիտուդահաճախային բնութագիրը զգալիորեն ավելի քիչ ուղղաձիգ է, քան այլ գծային ֆիլտրերում, սակայն խմբային համաղումը մնում է անփոփոխ հաճախությունների անցման տիրույթում:

Բեսսելի ֆիլտրի փոխանցման ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը`

$H(s)={\frac {\theta _{n}(0)}{\theta _{n}(s/\omega _{0})}}\,$, որտեղ $\theta _{n}(s)$-ը Բեսսելի հակադարձ բազմանդամն է, իսկ $\omega _{0}$-ն ընտրված հաճախությունն է, որը տալիս է անհրաժեշտ հաճախության կտորը։ Ֆիլտրը ունի $1/\omega _{0}$ ցածր-հաճախային հապաղման խումբ։

Օրինակ

Երրորդ կարգի Բեսսելի ֆիլտրի նորմավորված հաճախություն

Երրորդ կարգի Բեսսելի ֆիլտրի խմբային հապաղված հաճախություն

Երրորդ կարգի Բեսսելի ցածր հաճախային փոխանցման ֆունկցիան կարգավորում է հապաղման խումբը`

$H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}.$, որտեղ s = −1.8389 ± j1.7544

Ամպլիտուդահաճախային բնութագիրը`

$G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {15}{\sqrt {\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}}\,$:

Փուլահաճախային բնութագիրը`

$\phi (\omega )=-\arg(H(j\omega ))=-\arctan \left({\frac {15\omega -\omega ^{3}}{15-6\omega ^{2}}}\right)\,$:

Այսպիսի ֆիլտրի խմբային հապաղումը `

$D(\omega )=-{\frac {d\phi }{d\omega }}={\frac {6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}{\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}\,$:

Խմբային հապաղման վերլուծումը Թեյլորի աստիճանային շարքով`

$D(\omega )=1-{\frac {\omega ^{6}}{225}}+{\frac {\omega ^{8}}{1125}}+\cdots$

Վերջին արտահայտությունից երևում է, որ ω² և ω⁴ աստիճանների գործակիցները հավասար են զրոյի, իսկ ավելի բարձր աստիճանների դեպքում շատ փոքր են ստացվում, որից էլ ցածր հաճախություններում խմբային հապաղումը մոտ է մեկին։

Թվային

Որպես Բեսսելի ֆիլտրի կարևոր բնութագիր է հանդիսանում առավելագույն հարթ խմբային հապաղումը, այլ ոչ թե ամպլիտուդային արձագանքը։ Բեսսելի ֆիլտրին թվային տեսք տալու համար նպատակահարմար չէ օգտագործել ոչ գծային անալոգային փոխակերպում,քանի որ այն պահպանում է ամպլիտուդի արձագանքը, բայց ոչ խմբի հապաղումը։

Թվայինը համարժեք է Թիրանի ֆիլտրին, ինչպես նաև առավելագույն հարթ խմբային հապաղմամբ ցածր հաճախային ֆիլտրի, որը նույնպես կարող է վերափոխվել փուլային ֆիլտրի, իրականացնելու համար մասնակի հապաղումներ։