Բաժանում զրոյի վրա

Զրոյի վրա բաժանումը մաթեմատիկայում տեղի է ունենում, երբ բաժանարարը (հայտարարը) զրո է։ Նման բաժանումը կարող է ունենալ տեսքը, որտեղ -ն համարիչն է։ Տարրական թվաբանության մեջ այդ արտահայտությունը իմաստ չունի, քանի որ չկա մի թիվ, որը բազմապատկելով զրոյով, կստանանք թիվը (ենթադրելով, որ )։ Եվ քանի որ ցանկացած թիվ զրոյի բազմապատկելիս ստացվում է զրո, արտահայտությունը նույնպես չունի սահմանված արժեք։

y = 1/x ֆունկցիան: Աջից դեպի 0 x-ի աճին զուգընթաց y-ի աճը անվերջ դրական ուղղությամբ է։ Ձախից դեպի 0 x-ի աճին զուգընթաց y-ի աճը անվերջ բացասական է:
Զրոյի վրա բաժանելիս Անդրոիդի հաշվիչը ցույց է տալիս անվերջության նշանը։

Պատմականորեն, ամենավաղ արձանագրված տվյալներով արտահայտությանը արժեքը նշանակելու անհնարության մասին կա Ջորջ Բերկլիի (1685 – 1753)՝ «criticism of infinitesimal calculus»-ում[1]։

Ծրագրավորման մեջ զրոյի վրա բաժանելու դեպքում կարող է ծրագրի մեջ խնդիր առաջանալ։ Դա կախված է ծրագրավորման միջավայրից և այն թվի տեսակից, որի վրա կատարվում է բաժանումը։ Կարող է առաջացնել դրական կամ բացասական անվերջություն, բացառություն, սխալի ուղերձ, կարող է նաև ծրագիրը դադարի աշխատել կամ կարող է հանգեցնել հատուկ ոչ մի թիվ կոչված արժեքին (NaN)։

Տարրական թվաբանության մեջԽմբագրել

Երբ բաժանումը բացատրվում է տարրական թվաբանական մակարդակով, այն հաճախ դիտվում է որպես մի շարք օբյեկտների միջև կիսում հավասար մասերի։ Որպես օրինակ, ենթադրենք ունենք տասը բլիթ, և այդ բլիթները պետք է հավասարաչափ բաժանենք սեղանի շուրջ նստած հինգ մարդկանց միջև։ Յուրաքանչյուր մարդ կստանա   բլիթ։ Նմանապես, եթե կա տասը բլիթ և մեկ մարդ, նա կստանա   բլիթ։

Բայց  -ի վրա բաժանելու համար պետք է տանք հետևյալ հարցը՝ եթե բլիթները հավասարաչափ բաժանենք սեղանի շուրջ նստած   մարդկանցից միջև, քանի՞ բլիթ կհասնի յուրաքանչյուրին։   բլիթները   հավասար մասի բաժանելու հնարավոր ձև։ Մաթեմատիկական ժարգոնով կարելի է ասել, որ   առարկաներ չեն կարող բաժանվել   ենթաբազմությունների. այսինքն,   արտահայտությունը տարրական թվաբանության մեջ կա՛մ համարվում է անիմաստ, կա՛մ՝ դատարկ բազմություն։

Մեկ այլ եղանակ կա համոզվելու, որ թիվը չի կարող բաժանվել զրոյի։ Բաժանումը միշտ կարող ենք ստուգել բազմապատկման միջոցով։ Դիտարկելով վերը բերված  -ի օրինակը՝ նշանակենք  ։ Եթե  -ը հավասար է տասը բաժանած զրոյի, ապա   անգամ զրո պետք է հավասար լինի տասի։ Բայց մենք գիտենք, որ չկա այնպիսի  , որը զրոյով բազմապատկելիս ստացվի   (կամ զրոյիից բացի այլ թիվ)։ Իսկ եթե  -ի փոխարեն գրենք  , կստանանք  ։ Այս դեպքում  -ը կարող է լինել ցանկացած արժեք։

ՀանրահաշվումԽմբագրել

Բաժանումը՝ բազմապատկման հակառակ գործողությունԽմբագրել

Այս հասկացությամբ բաժանումը հանրահաշվում ներկայացվում է որպես բազմապատկման հակառակ գործողություն։ Օրինակ՝

 ,

ուրեմն 2-ը այն անհայտ մեծության արժեքն է, որի դեպքում ճիշտ է

 

արտահայտությունը։

Մինչդեռ

 

արտահայտությունը պահանջում է այնպիսի արժեք, որի դեպքում ճիշտ լինի

 

հավասարումը։ Բայց ցանկացած թիվ զրոյով բազմապատկելիս կստանանք զրո։ Այսինքն՝ չկա այնպիսի թիվ, որը կբավարարի այդ հավասարմանը։

 

արտահայտությունը պահանջում է այնպիսի արժեք, որի դեպքում ճիշտ կլինի

 

հավասարումը։

Նորից, ցանկացած թիվ զրոյով բազմապատկելիս կստանանք զրո։ Հետևաբար, այս դեպքում ցանկացած թիվ բավարարում է ներքևի հավասարմանը, բայց չի կարող բավարարել վերևինին։

Այսպիսով,   տեսքի արտահայտությունը կոչվում է անորոշություն։

 -ի վրա բաժանելիս առաջացող շփոթություններԽմբագրել

Հնարավոր է ունենալ զրոյի վրա բաժանման այնպիսի հանրահաշվական արգումենտի դեպք, որը կհանգեցնի կեղծ ապացույցների, ինչպես օրինակ՝   և այլն։ Օրինակ՝ ընդունելով, որ

 
 ,

պետք է ճիշտ լինի

 

հավասարությունը։ Այս հավասարության երկու կողմերը բաժանելով զրոյի, կստանանք՝

 ։

Պարզեցնելով այդ արտահայտությունը՝ կստանանք, որ

 

Այստեղ տրամաբանական սխալը ոչ ակնհայտ ենթադրությունն էր, ըստ որի 0-ի վրա բաժանելը նույնպիսի հատկություններով թույլատրելի մաթեմատիկական գործողություն է, ինչպես ցանկացած թվի վրա բաժանելն է։

Պատմական դեպքերԽմբագրել

1997 թվականի սեպտեմբերի 21-ին ամերիկյան «USS Yorktown (CG-48)»-ի հրթիռային հածանավի տվյալների հեռակա կառավարման համակարգում զրոյի վրա բաժանման հետևանքով շարքից դուրս եկան բոլոր ցանցային սարքերը, ինչի հետևանքով խափանվեց նավի շարժիչ համակարգը[2][3]։

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Cajori, Florian, «Absurdities due to division by zero: An historical note», The Mathematics Teacher: 366–368 .
  2. «Sunk by Windows NT»։ Wired News։ 1998-07-24 
  3. William Kahan (հոկտեմբերի 14, 2011)։ «Desperately Needed Remedies for the Undebuggability of Large Floating-Point Computations in Science and Engineering»