Բաբելոնյան մաթեմատիկա

Այս հոդվածը մաթեմատիկայի պատմության մաս է կազմում:

Ընդհանուր տեղեկություններԽմբագրել

Բաբելոնյան թագավորությունը ձևավորվել է մ.թ.ա. II հազարամյակի սկզբին, որը գտնվում է ժամանակակից Իրաքի տարածքում՝ փոխարինելով Շումերին և Աքքադին և ժառանգելով նրանց զարգացած մշակույթը։ Այն գոյություն է ունեցել մինչև մ.թ.ա 539 թվականը։

Բաբելոնացիները գրել են սեպագրեր կավե աղյուսների վրա, որոնք զգալի թվով հասել են մեզ (ավելի քան 500 000 սեպագրեր, որոնցից մոտ 400-ը կապված են մաթեմատիկայի հետ)։ Հետևաբար մենք ունենք բավականին պատկերացում բաբելոնյան պետության գիտնականների մաթեմատիկական գիտելիքների վերաբերյալ։ Նշենք, որ բաբելոնացիների մշակույթի արմատները հիմնականում գալիս են շումերականների մշակույթից. սեպագրային նամակներ, հաշվելու կարգ և այլն[1]։

Բաբելոնյան մաթեմատիկական տեքստերը հիմնականում կրթական բնույթ են կրում։ Դրանցից երևում է, որ բաբելոնյան հաշվարկման տեխնիկան շատ ավելի առաջադեմ էր, քան եգիպտականըՙ ինչպես նաև լուծվող խնդիրների շրջանակը էապես ավելի լայն էր։ Այդտեղ կային քառակուսային հավասարումների, երկրաչափական պրոգրեսիաների լուծման վերաբերող խնդիրներ։ Որոշման չափով կիրառվել են համամասնությունները, միջին թվաբանականը, տոկոսները։ Պրոգրեսիաների հետ աշխատելու մեթոդները ավելի խորքային էին, քան եգիպտացիներինը։

Բաբելոնյան տեքստերում, ինչպես եգիպտականներում է, տրվում է միայն որոշման ալգորիթմը (կոնկրետ օրինակներ)՝ առանց մեկնաբանությունների և ապացույցների։ Այնուամենայնիվ, ալգորիթմների վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ բաբելոնացիների շրջանում զարգացած ընդհանուր մաթեմատիկական տեսությունը անկասկած գոյություն է ունեցել[2]։

ՀամարակալումԽմբագրել

Շումերացիները և բաբելոնացիները օգտագործում էին վեց տասնորդական թվային համակարգը։ Նրանք գրել են մեր նման՝ ձախից աջ։ 60 թվանշանների գրառումը յուրահատուկ էր։ Թվերի համար կար ընդամենը երկու նիշ, որոնք նշանակեցին Մ (միավոր) և Տ (տասնյակ)։ Հետագայում հայտնվեց զրոյի հատուկ նիշը։ 1-ից 9-ը թվերը ներկայացված էին այսպես՝ Մ, ՄՄ, ... ՄՄՄՄՄՄՄՄՄ։ Իսկ դրանից հետո Տ, ՏՄ, … ՏՏՏՏՏՄՄՄՄՄՄՄՄՄ (59)։ Նմանապես արձանագրված են ֆրակցիաները։ 1/2, 1/3 և 2/3 հայտնի ֆրակցիաների համար հատուկ սիմվոլներ են եղել։

Հույն և միջնադարյան եվրոպացի մաթեմատիկոսները (այդ թվում` Կոպեռնիկոսը) օգտագործեցին Բաբելոնյան 60-ական համակարգը` ֆրանկցաիների մասերը նշանակելու համար։ Սրա շնորհիվ մենք ժամը բաժանում ենք 60 րոպեի, իսկ րոպեները` 60 վայրկյանի:Պետք է նշել, որ Հին Բաբելոնում, հակառակ տարածված կարծիքի, ժամեր, րոպեներ և վայրկյաններ չեն օգտագործվել։ Դրանց փոխարեն օգտագործվել է «կրկնակի ժամ»՝ 120 ժամվա տևողությամբ, ինչպես նաև «ժամանակային աստիճան»՝ 1/360 օր տեւողությամբ (այսինքն չորս րոպե) և «երրորդ մասը»՝ 313 վայրկյանի տրողությամբ (ինչպես ժամանակակից հրեական օրացույցում)[3]։

Ժամանակակից գիտական գրականության մեջ օգտագործվում է բաբելոնյան թվերի կոմպակտ գրառումը, օրինակ՝

4,2,10; 46,52

ՀԵտագայում այն ստացավ հետևյալ տեսքը՝ 4 × 3600 + 2 × 60 + 10 + 46/60 + 52/3600:

Թվաբանություն և հանրահաշիվԽմբագրել

Բաբելոնացիների թվաբանությունը զգալիորեն զարգացած էր, նրանք ունեին աղյուսակների ծանրակշիռ հավաքածու։ Այդ աղյուսակները ընդգրկեց բազմապատկման աղյուսակները (առանձին բազմապատկելու համար 1 ... 20, 30 ... 50), քառակուսիների, խորանարդների, քառակուսի և խորանարդ արմատների և այլնի հաշման աղյուսակները։ Աղյուսակներից մեկը օգնեց գտնել n ցուցիչը, եթե բանանաձևը տրվում էր հետևյալ կերպ՝   (այս երկուական լոգարիթմները օգտագործվում են վարկի տոկոսների հաշվարկի համար)։ Բաբելոնցիները m/n ամբողջ թվերի բաժանումը փոխարինել են բազմապատկման՝ m ×(1/n) եւ 1/n գտնելու համար օգտագործել են վեր նշված աղյուսակները[4][5]։

Գծային և քառակուսային հավասարումների լուծումը տրվեց նույնիսկ Համմուրաբիի դարաշրջանում (նա ղեկավարում էր մ.թ.ա. 1793-1750): Այդ ժամանակ օգտագործել են նաև երկրաչափական տերմինաբանությունը (մարմնի ab-ն կոչվում է մակերես, abc-ն՝ ծավալը և այլն)։ Միանդամների շատ նշաններ շումերացիներից էին եկել, որոնցից կարելի է եզրակացություն անել հնագույն ալգորիթմենրի վերաբերյալ։ Օգտագործել են հատուկ տառեր անհայտները նշանակելու համար։ Հանդիպում ենք նաև քառակուսային և գժային հավասարումների համակարգերի։ Քառակուսի արմատները հաշվարկելու համար բաբելոնացիները հայտնաբերեցին հատուկ բանաձևեր։ Քառակուսային արմատը ներկայացրեցին արտահայտության տեսքով՝  , ապա ստացան  : Ապա կիրառվեց նաև Նյուտոնի մեթոդը[6]՝

 :

Այս մեթոդով շատ արագ կարողանում էին ստանալ պատասխաններ։ Օրինակ   համար, երբ , մենք ստանում ենք մի շարք մոտարկումներ՝  :

Վերջիվերջո բոլոր մեթոդները և գոևծողությունները՝ բացառությամբ վերջինի, ճիշտ են։

ԵրկրաչափությունԽմբագրել

Երկրաչափության մեջ դիտարկվել են նույն մարմինները, որոնք որ Եգիպտոսում, դրան ավելացրած շրջանային սեգմենտը և հատած կոնը։ Նախնական տեքստերում  , սակայն հաջորդ տեքստերում հանդիպում ենք, որ 25/8 = 3,125 (եգիպտացիների շրջանում 256/81 ≈ 3,1605): Հանդիպում ենէ նաև մի անսովոր կանոնի, ըստ որի շրջանի մակերսը հավասար է  : Առաջին անգամ հանդիպում ենք Պյութագորասի թեորեմին (նույնիսկ Համմուրաբի տակ). այն տրվել է հատուկ աղյուսակների միջոցով և լայնորեն օգտագործվում է տարբեր խնդիրների լուծման մեջ։ Բաբելոնացիները կարողացան հաշվարկել բազմանկյունների մակերեսները. ըստ երեւույթին, նրանք ծանոթ էին նմանության սկզբունքին։ Չկարգավորված քառանկյունների մակերեսների համար օգտագործում էին նույն մոտավոր բանաձևը, որը օգտագործվում էր Եգիպտոսում՝  :Բաբելոնյան մաթեմատիկայից սկսվում է անկյունների աստիճանների րոպեների և վայրկյանների սովորական չափումը (այս միավորների ներդրումը հնագույն մաթեմատիկայի մեջ սովորաբար վերագրվում է Գիպսիկլեին, մ.թ.ա. II դար)։

Պատմական ազդեցությունԽմբագրել

Բաբելոնյան մաթեմատիկոսների և աստղագետների զգալի ձեռքբերումները դարձել են հաջորդ քաղաքակրթությունների գիտության հիմքը և առաջին հերթին Հին Հունաստանի քաղաքակրթության գիտական հիմքը։ Սակայն Բաբելոնի մաթեմատիկայի հարուստ տեսական հիմքը ոչ թե ամբողջական բնույթ էր կրում, նվազեցվել է մի շարք տարբեր մեթոդներ, այդտեղ բացակայում էին ապացույցները։ Մաթեմատիկայի համակարգված մոտեցումը միայն հույների շրջանում դրսևորվեց։

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. История математики, 1970, էջ 35
  2. Матвиевская Г. П., 1967, էջ 7—8
  3. Стр. 325 в O Neugebauer (1949)։ «The astronomy of Maimonides and its sources»։ Hebrew Union College Annual 22: 321–360 
  4. История математики, 1970, էջ 37—39
  5. Матвиевская Г. П., 1967, էջ 6—7
  6. История математики, 1970, էջ 47

ԳրականությունԽմբագրել

Արտաքին հղումներԽմբագրել