Անվերջ փոքր և անվերջ մեծ

Անվերջ փոքր, թվային ֆունկցիա կամ հաջորդականություն, որը ձգտում է զրոյի։

Անվերջ մեծ, թվային ֆունկցիա կամ հաջորդականություն, որը ձգտում է որոշակի նշանի անվերջության։

Անվերջ փոքրերի և մեծերի հաշիվԽմբագրել

Անվերջ փոքրերի հաշիվ, հաշվարկ, որն իրականացվում է անվերջ փոքր մեծությունների հետ, որոնց ժամանակ ածանցված արդյունքը դիտարկվում է որպես անվերջ փոքրերի անվերջ գումար։ Անվերջ փոքր մեծությունների հաշիվը ընդհանուր հասկացություն է համարվում դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվների համար, որոնք միասին կազմում են ժամանակակից բարձրագույն մաթեմատիկայի հիմքը։ Անվերջ փոքր մեծության հասկացությունը սերտորեն կապված է սահմանի հասկացության հետ։

Անվերջ փոքրԽմբագրել

  հաջորդականությունն անվանում են անվերջ փոքր, եթե  ։ Օրինակ,   թվերի հաջորդականությունն անվերջ փոքր է։

Ֆունկցիան անվանում են անվերջ փոքր   կետի շրջակայքում, եթե  ։

Ֆունկցիան անվանում են անվերջ փոքր անվերջության վրա, եթե   կամ  ։

Անվերջ փոքր է համարվում նաև այն ֆունկցիան, որն իրենից ներկայացնում է ֆունկցիայի և իր սահմանի տարբերությունը, այսինքն եթե  , ապա  ,  ։

Անվերջ մեծԽմբագրել

Ներքևում ներկայացված բոլոր բանաձևերում հավասարության աջ մասի անվերջությունը որոշակի նշան ունի (կամ «պլյուս», կամ «մինուս»)։ Այսինքն, օրինակ,   ֆունկցիան, որն երկու կողմից էլ սահամանափակ չէ, չի համարվում անվերջ մեծ ֆունկցիա, երբ  ։

  հաջորդականությունը անվանում են անվերջ մեծ, եթե  ։

Ֆունկցիան անվանում են անվերջ մեծ   կետի շրջակայքում, եթե  ։

Ֆունկցիան անվանում են անվերջ մեծ անվերջության վրա, եթե   կամ  ։

Անվերջ փոքրերի հատկություններըԽմբագրել

  • Վերջավոր թվի և անվերջ փոքր ֆունկցիայի հանրահաշվական գումարը անվերջ փոքր ֆունկցիա է։
  • Անվերջ փոքրերի արտադրյալը անվերջ փոքր է։
  • Անվերջ փոքր հաջորդականության և սահմանափակ հաջորդականության արտադրյալն անվերջ փոքր է։ Որպես հետևանք, անվերջ փոքր թվի և հաստատունի արտադրյալը անվերջ փոքր է։
  • Եթե  -ը անվերջ փոքր հաջորդականություն է, որն պահպանում է իր նշանը, ապա  -ը անվերջ փոքր հաջորդականություն է։

Անվերջ փոքրերի համեմատումըԽմբագրել

ՍահմանումներԽմբագրել

Ենթադրենք, մենք ունենք   և   անվերջ փոքրերը (կամ անվերջ փոքր հաջորդականությունները) միևնույն   մեծության դեպքում։

  • Եթե  , ապա   անվերջ փոքրը ավելի բարձր մակարդակի անվերջ փոքր է, քան  -ն։ Նշանակում են   կամ β≺α։
  • Եթե  , ապա   անվերջ փոքրը ավելի ցածր մակարդակի անվերջ փոքր է, քան  -ն։ Համապատասխանաբար,   կամ α≺β։
  • Եթե   (սահմանը վերջավոր է և հավասար չէ 0-ի), ապա  -ն և  -ն համարվում են միևնույն մակարդակի անվեջ փոքր մեծություններ։ Սա նշանակում են որպես α≍β կամ որպես   և   հարաբերությունների միաժամանակ կատարում։ Նկատենք, որ որոշ աղբյուրներում կարելի է հանդիպել նշանակում, որտեղ որպես մակարդակների միևնույնություն օգտագործվում է միայն մեկ «O մեծ» հարաբերություն, ինչը համարվում է տվյալ նշանի ազատ օգտագործում։
  • Եթե   (սահմանը վերջավոր է և հավասար չէ 0-ի), ապա   անվերջ փոքր նեծությունը  -րդ կարգի անվերջ փոքր է, համեմատած  -ի հետ։

Այսպիսի սահմանների հաշվման համար օգտագործվում է Լոպիտալի կանոնը։

Համեմատման օրինակներԽմբագրել

  •   դեպքում  -ն ավելի բարձր մակարդակի փոքր է, քան  -ը, քանի որ  ։ Մյուս կողմից,  -ն ավելի ցածր մակարդակի անվերջ փոքր է, քան  -ը, քանի որ  ։
Օգտագործելով О-նշանակումը, ստացված արդյունքները կարելի է գրել հետևյալ տեսքով՝  ։
  •  , այսինքն, երբ  ,   և   ֆունկցիաները համարվում են նույն մակարդակի անվերջ փոքրեր։
Տվյալ դեպքում ճշմարիտ են հետևյալ գրառումները՝   և  ։
  • Երբ  ,   անվերջ փոքր մեծությունը երրորդ կարգի անվերջ փոքր է  -ի հետ համեմատած, քանի որ  ,   անվերջ փոքրը՝ երկրորդ կարգի,   անվերջ փոքրը՝ 0,5-րդ կարգի։

Համարժեք մեծություններԽմբագրել

ՍահմանումներԽմբագրել

Եթե  , ապա   և   անվերջ փոքր և անվերջ մեծ մեծությունները անվանում են համարժեքներ (նշանակվում է որպես  

Ակնհայտ է, որ համարժեք մեծությունները համարվում են նույն կարգի անվերջ փոքր (անվերջ մեծ) մեծությունների մասնավոր դեպքեր։

Երբ  , տեղի են ունենում համարժեքության հետևյալ հարաբերությունները (որպես հետևանք, այսպես կոչված, նշանավոր սահմանների

  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  , где  ;
  •  ;
  •  , где  ;
  •  ;
  •  ;
  •  , այդ իսկ պատճառով օգտագործում են հետևյալ արտահայտությունը
 , որտեղ  ։

ԹեորեմԽմբագրել

Երկու անվերջ փոքր կամ անվերջ մեծ մեծությունների (հարաբերության) մասնավոր սահմանը չի փոխվի, եթե նրանից մեկը (կամ երկուսն էլ) փոխարինենք համարժեք մեծությամբ։

Այս թեորեմն ունի կիրառական նշանակություն սահմաններ գտնելու ժամանակ (տես՝ օրինակը)։

Օգտագործման օրինակներԽմբագրել

  • Գտնել  ։
Փոխարինելով    համարժեք մեծությամբ, ստանում ենք՝
 ։
  • Գտնել  ։
Քանի որ  , երբ  , կստանանք, որ՝
 ։
  • Հաշվել  ։
Եթե հաշվենք, օգտագործելով համարժեք մեծությունը, կստանանք՝  ։ Իսկ եթե հաշվենք հաշվիչով (ստանանք առավել ճշտգրիտ արժեքը), կստանանք՝  ։ Այսինքն, սխալը կազմում է մոտ 0,005 (1%-ից էլ պակաս), այսինքն այս մեթոդն օգտակար է իր պարզության շնորհիվ, երբ գործ ունենք ոչ այնքան նուրբ հաշվարկների հետ։

Տես նաևԽմբագրել