Եթե հատուկ նշված չէ, ապա ցանկի ֆունկցիաները համարվում են իրական փոփոխականով և իրական արժեքով ֆունկցիաները, չնայած, ընդհանուր առամաբ այս բանաձևերը ճիշտ են, եթե այդ կետերում ֆունկցիաները լավ սահմանված են[ 1] [ 2] կոմպլեքս թվերի դեպքում[ 3]
Կամայական
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
h
(
x
)
=
a
f
(
x
)
+
b
g
(
x
)
{\displaystyle h(x)=af(x)+bg(x)}
x
{\displaystyle x}
h
′
(
x
)
=
a
f
′
(
x
)
+
b
g
′
(
x
)
։
{\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x){\text{։}}}
Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝
d
(
a
f
+
b
g
)
d
x
=
a
d
f
d
x
+
b
d
g
d
x
։
{\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}{\text{։}}}
Մասնավոր դեպքեր․
Հաստատում արտադրիչի կանոն՝
(
a
f
)
′
=
a
f
′
{\displaystyle (af)'=af'}
(
f
+
g
)
′
=
f
′
+
g
′
{\displaystyle (f+g)'=f'+g'}
(
f
−
g
)
′
=
f
′
−
g
′
.
{\displaystyle (f-g)'=f'-g'.}
Կամայական f և g ֆունկցիաների համար h (x ) = f (x ) g (x ) ֆունկցիայի ածանցյալը ըստ x -ի հավասար է՝
h
′
(
x
)
=
(
f
g
)
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
։
{\displaystyle h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x){\text{։}}}
Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝
d
(
f
g
)
d
x
=
d
f
d
x
g
+
f
d
g
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}
h
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle h(x)=f(g(x))}
h
′
(
x
)
=
f
′
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
։
{\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x){\text{։}}}
Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝
d
d
x
h
(
x
)
=
d
d
z
f
(
z
)
|
z
=
g
(
x
)
⋅
d
d
x
g
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)={\frac {d}{dz}}f(z)|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}
որը հաճախ կրճատ գրվում է որպես
d
h
(
x
)
d
x
=
d
f
(
g
(
x
)
)
d
g
(
x
)
⋅
d
g
(
x
)
d
x
։
{\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}{\text{։}}}
Դիֆերենցումը որպես
D
{\displaystyle {\text{D}}}
[
D
(
h
∘
g
)
]
x
=
[
D
h
]
g
(
x
)
⋅
[
D
g
]
x
։
{\displaystyle [{\text{D}}(h\circ g)]_{x}=[{\text{D}}h]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,{\text{։}}}
Եթե f ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան g -ն է, այսինքն՝
g
(
f
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle g(f(x))=x}
f
(
g
(
y
)
)
=
y
,
{\displaystyle f(g(y))=y,}
g
′
=
1
f
′
∘
g
։
{\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}{\text{։}}}
Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝
d
x
d
y
=
1
d
y
d
x
։
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}{\text{։}}}
խմբագրել
Եթե
f
(
x
)
=
x
r
{\displaystyle f(x)=x^{r}}
r
≠
0
,
{\displaystyle r\neq 0,}
f
′
(
x
)
=
r
x
r
−
1
։
{\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}{\text{։}}}
Երբ
r
=
1
,
{\displaystyle r=1,}
f
(
x
)
=
x
,
{\displaystyle f(x)=x,}
f
′
(
x
)
=
1
{\displaystyle f'(x)=1}
Այս, գումարման և հաստատունով բազմապատկման կանոնի միջոցով հնարավոր է հաշվել կամայական բազմանդամի ածանցիալ։
Կամայական չանհետացող f
h
(
x
)
=
1
f
(
x
)
{\displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}}
h
′
(
x
)
=
−
f
′
(
x
)
(
f
(
x
)
)
2
{\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}}
f Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝
d
(
1
/
f
)
d
x
=
−
1
f
2
d
f
d
x
։
{\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}{\text{։}}}
Հակադարձ ֆունկցիայի կանոնը կարելի է ստանալ կամ քանորդի կանոնից կամ աստիճանի կանոնի և բարդ ֆունկցիայի կանոնի համադրությամբ։
Եթե f g
(
f
g
)
′
=
f
′
g
−
g
′
f
g
2
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }
g Սա կարելի է ստանալ բազմապատկման և հակադարձ ֆունկցիաների կանոնից։
Տարրական աստիճանային կանոնը կարող է ընդհանրացվել։ Ամենաընդհանուր աստիճանային կանոնը ֆունկցիոնալ աստիճանային կանոնն է․ կամայական f g
(
f
g
)
′
=
(
e
g
ln
f
)
′
=
f
g
(
f
′
g
f
+
g
′
ln
f
)
,
{\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }
եթե երկու կողմն էլ լավ սահմանված են[ 4]
Հատուկ դեպքերից են՝
եթե
f
(
x
)
=
x
a
{\textstyle f(x)=x^{a}\!}
f
′
(
x
)
=
a
x
a
−
1
{\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}
a x
Հակադարձ ֆունկցիայի կանոնը այս դեպքում կարելի է դիտարկել որպես սրա մասնավոր դեպք, երբ
g
(
x
)
=
−
1
{\textstyle g(x)=-1\!}
խմբագրել
d
d
x
(
c
a
x
)
=
a
c
a
x
ln
c
,
c
>
0
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0}
այս հավասարումը ճիշտ է կամայական c -ի համար, բայց
c
<
0
{\textstyle c<0}
d
d
x
(
e
a
x
)
=
a
e
a
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}}
d
d
x
(
log
c
x
)
=
1
x
ln
c
,
c
>
0
,
c
≠
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}
վերևում նշված հավասարումը ճիշտ է կամայական c
c
<
0
{\textstyle c<0\!}
d
d
x
(
ln
x
)
=
1
x
,
x
>
0.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0.}
d
d
x
(
ln
|
x
|
)
=
1
x
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x}.}
d
d
x
(
x
x
)
=
x
x
(
1
+
ln
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}
d
d
x
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
=
g
(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
−
1
d
f
d
x
+
f
(
x
)
g
(
x
)
ln
(
f
(
x
)
)
d
g
d
x
,
եթե
f
(
x
)
>
0
,
և եթե
d
f
d
x
և
d
g
d
x
գոյություն ունեն։
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{եթե }}f(x)>0,{\text{ և եթե }}{\frac {df}{dx}}{\text{ և }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ գոյություն ունեն։}}}
d
d
x
(
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
(
.
.
.
)
f
n
(
x
)
)
=
[
∑
k
=
1
n
∂
∂
x
k
(
f
1
(
x
1
)
f
2
(
x
2
)
(
.
.
.
)
f
n
(
x
n
)
)
]
|
x
1
=
x
2
=
.
.
.
=
x
n
=
x
,
եթե
f
i
<
n
(
x
)
>
0
և
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ եթե }}f_{i<n}(x)>0{\text{ և }}}
d
f
i
d
x
գոյություն ունի։
{\displaystyle {\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ գոյություն ունի։ }}}
Լոգարիթմական ածանցյալը ֆունկցիայի լոգարիթմի ածանցման կանոնը այլ կերպ նշելու ձև է (բարդ ֆունկցյաի ածանցման կանոնով)․
(
ln
f
)
′
=
f
′
f
{\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }
f Լոգարիթմական ածանցյալի մեթոդի միջոցով հնարավոր է նախքան ածանցումը լոգարիթմի և դրա ածանցման կանոնների միջոցով պարզեցնել որոշակի արտահայտություններ։ Լոգարիթմների միջոցով հնարավոր է ազատվել ցուցիչներից, արտադրյալը վերածել գումարի, բաժանումը՝ հանման, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է պարզեցնել հետագա ածանցումը։
խմբագրել
(
sin
x
)
′
=
cos
x
{\displaystyle (\sin x)'=\cos x}
(
arcsin
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}
(
cos
x
)
′
=
−
sin
x
{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x}
(
arccos
x
)
′
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}
(
tan
x
)
′
=
sec
2
x
=
1
cos
2
x
=
1
+
tan
2
x
{\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x}
(
arctan
x
)
′
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}}
(
cot
x
)
′
=
−
csc
2
x
=
−
1
sin
2
x
=
−
(
1
+
cot
2
x
)
{\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x=-{1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)}
(
arccot
x
)
′
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{1 \over 1+x^{2}}}
(
sec
x
)
′
=
tan
x
sec
x
{\displaystyle (\sec x)'=\tan x\sec x}
(
arcsec
x
)
′
=
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}
(
csc
x
)
′
=
−
cot
x
csc
x
{\displaystyle (\csc x)'=-\cot x\csc x}
(
arccsc
x
)
′
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}
Ընդունված է սահմանել երկու արգումենտով արկտանգես ֆունկցիա՝
arctan
(
y
,
x
)
{\displaystyle \arctan(y,x)\!}
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle [-\pi ,\pi ]\!}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)\!}
x
>
0
{\displaystyle x>0\!}
arctan
(
y
,
x
>
0
)
=
arctan
(
y
/
x
)
{\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x)\!}
∂
arctan
(
y
,
x
)
∂
y
=
x
x
2
+
y
2
{\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}}
∂
arctan
(
y
,
x
)
∂
x
=
−
y
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.}
խմբագրել
(
sinh
x
)
′
=
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
(
arsinh
x
)
′
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}
(
cosh
x
)
′
=
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
(
arcosh
x
)
′
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arcosh} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
(
tanh
x
)
′
=
sech
2
x
{\displaystyle (\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}\,x}}
(
artanh
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}
(
coth
x
)
′
=
−
csch
2
x
{\displaystyle (\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}
(
arcoth
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arcoth} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}
(
sech
x
)
′
=
−
tanh
x
sech
x
{\displaystyle (\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x}
(
arsech
x
)
′
=
−
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arsech} \,x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}
(
csch
x
)
′
=
−
coth
x
csch
x
{\displaystyle (\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}
(
arcsch
x
)
′
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arcsch} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}
խմբագրել
Ռիմանի զետա ֆունկցիա
ζ
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
x
{\displaystyle \quad \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}
ζ
′
(
x
)
=
−
∑
n
=
1
∞
ln
n
n
x
=
−
ln
2
2
x
−
ln
3
3
x
−
ln
4
4
x
−
⋯
{\displaystyle \zeta '(x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots }
=
−
∑
p
պարզ
p
−
x
ln
p
(
1
−
p
−
x
)
2
∏
q
պարզ
,
q
≠
p
1
1
−
q
−
x
{\displaystyle \,=-\sum _{p{\text{ պարզ}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ պարզ}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}}
↑ Calculus (5th edition) , F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, 978-0-07-150861-2 .↑ Advanced Calculus (3rd edition) , R. Wrede, M.R. Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, 978-0-07-162366-7 .↑ Complex Variables , M.R. Speigel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, 978-0-07-161569-3 ↑ «The Exponent Rule for Derivatives» . Math Vault (ամերիկյան անգլերեն). 2016 թ․ մայիսի 21. Վերցված է 2019 թ․ հուլիսի 25-ին .
Մաթեմատիկական անալիզի տարրերը։ Հեղինակ Ֆիխտենգոլց
Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition) , S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, 978-0-07-154855-7 .The Cambridge Handbook of Physics Formulas , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, 978-0-521-57507-2 .Mathematical methods for physics and engineering , K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, 978-0-521-86153-3 NIST Handbook of Mathematical Functions , F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, 978-0-521-19225-5 . 
![{\displaystyle [{\text{D}}(h\circ g)]_{x}=[{\text{D}}h]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,{\text{։}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e2238969f984395f65dca7a8fb0212eead836a)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ եթե }}f_{i<n}(x)>0{\text{ և }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3923309ee88f546727da2102d64f263f88d64b28)
![{\displaystyle [-\pi ,\pi ]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad4662269681b77f7e7591ac2fc325dcdc9dde45)
