Ֆերմայի փոքր թեորեմ
Թվերի տեսության մեջ Ֆերմայի փոքր թեորեմը պնդում է, որ եթե p-ն պարզ թիվ է, ապա կամայական a ամբողջ թվի համար ap− a-ն p թվի բազմապատիկ է։ Մնացորդների թվաբանության մեջ այդ պնդումը գրառվում է հետևյալ կերպ․
ap ≡ a (mod p)[1]
Օրինակ՝ եթե a=2 և p=7, ուրեմն 27=128, և 128-2 = 126 = 7 × 18։ Ստացվում է 7-ի բազմապատիկ թիվ։
Եթե a թիվը չի բաժանվում p-ի (դա նշանակում է, որ a-ն և p-ն փոխադարձաբար պարզ են), ուրեմն Ֆերմայի փոքր թեորեմը համարժեք է այն պնդմանը, որ ap-1 - 1-ը p-ի բազմապատիկ է․
ap-1 ≡ 1 (mod p)
Օրինակ՝ եթե a=2 և p=7, ուրեմն 26=64 և 64-1=63=7 × 9 (63-ը 7-ի բազմապատիկ է)։
Ֆերմայի փոքր թեորեմը թվերի տեսության և հատկապես՝ պարզ թվերի ուսումնասիրման մեջ ամենահիմնարար պնդումներից է։ Այն կոչվել է թեորեմը բացահայտող մաթեմատիկոս Պիեռ դը Ֆերմայի անունով․ նա ձևակերպել է այն 1640 թվականին, թեև առաջին ապացույցը ի հայտ է եկել 1736 թվականին[2]։ Թեորեմի անունն է "փոքր թեորեմ", որպեսզի այն չշփոթեն Ֆերմայի մեծ թեորեմի հետ։
Պատմություն խմբագրել
Առաջին անգամ թեորեմի մասին նշվել է 1640 թվականի հոկտեմբերի 18-ին Ֆերմայի՝ ընկերոջը՝ Բերնարդ Ֆրենիքլ դե Բեսսիին, ուղղված նամակներից մեկում։ Այդ ձևակերպումը համարժեք է հետևյալին․
Եթե p թիվը պարզ է, և a-ն կամայական ամբողջ թիվ է, որը չի բաժանվում p-ի, ուրեմն a p − 1 − 1 արտահայտությունը բաժանվում է p-ի։
Պիեռ Ֆերմայի տված նախնական սահմանումը հետևյալն էր․
«Յուրաքանչյուր պարզ թվի [p] համար գոյություն ունի [a, a2, a3, …] երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամ որևէ թիվ, որից մեկով պակաս թիվը պարտադիր p թվի բազմապատիկ է, և այդ անդամի ցուցիչը [t] p — 1 թվի բազմապատիկ է։ Եթե գտնվի պահանջին բավարարող [t], ապա [t]-ի բոլոր բազմապատիկների դեպքում պահանջը նույնպես կբավարարվի»։
Ֆերման հաշվի չէր առել a֊ի՝ p֊ին բազմապատիկ լինելու դեպքը և չի ապացուցել իր պնդումը։ Նա միայն նշել է․
«Եվ այս առաջարկությունն ընդհանուր առմամբ ճշմարիտ է բոլոր վերոնշյալ հաջորդականությունների և բոլոր պարզ թվերի համար։ Ես Ձեզ կուղարկեի այս պնդման ապացույցը, եթե չվախենայի չափից երկար գրելուց»։
Էյլերի կողմից առաջինը հրապարակվեց թեորեմի ապացույցը 1736 թվականին՝ «Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio» վերնագրված հոդվածում Սանկտ Պետերբուրգի ակադեմիայի տեղեկագրում, սակայն Լայբնիցը գրեթե նույն ապացույցը ներկայացրել էր մինչ 1683 թվականը մի չհրապարակված ձեռագրում։
Ծանոթագրություններ խմբագրել
- ↑ Ritwik (2019 թ․ հունիսի 11). Excursion In Mathematics Modak. էջ 21.
- ↑ «On Fermat's Little Theorem.(2008), էջ 1» (PDF).