Տասնորդական լոգարիթմներ

Տասնորդական լոգարիթմը-դա լոգարիթմն է 10 հիմքով։ Այլ կերպ ասած $b$ թվի տասնորդական լոգարիթմ է կոչվում $10^{x}=b.$ հավասարման լուծումը։ $b$ թվի իրական տասնորդական լոգարիթմը գոյություն ունի, եթե $b$ >0(կոմպլեքս տասնորդական լոգարիթմը գոյություն ունի ցանկացած $b$ ≠0համար)։ ISO 31-11 միջազգային ստանդարտով նշանակվում է $\lg \,b$ ։ օրինակներ

\lg \,1=0;\,\lg \,10=1;\,\lg \,100=2

\lg \,1000000=6;\,\lg \,0{,}1=-1;\,\lg \,0{,}001=-3

Միջազգային գրականության մեջ, երբեմն էլ որոշ հաշվիչների ստեղնաշարերի վրա կարելի է հանդիպել նաև $\operatorname {log} ,\operatorname {Log} ,\operatorname {Log10}$ նշանակումներին, ընդ որում առաջին երկուսը կարող են վերաբերվել նաև բնական լոգարիթմին։

Հանրահաշվական հատկություններ խմբագրել

Աղյուսակում ենթադրվում է, որ փոփոխականների բոլոր արժեքները դրական են^[1]

	Բանաձև	Օրինակ
Արտադրյալ	$\lg(xy)=\lg(x)+\lg(y)$	$\lg(10000)=\lg(100\cdot 100)=\lg(100)+\lg(100)=2+2=4$
Քանորդ	$\lg \!\left({\frac {x}{y}}\right)=\lg(x)-\lg(y)$	$\lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3$
Աստիճան	$\lg(x^{p})=p\lg(x)$	$\lg(10000000)=\lg(10^{7})=7\lg(10)=7$
Արմատ	$\lg {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\lg(x)}{p}}$	$\lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5$

Այն դեպքերում, երբ հնարավոր են փոփոխականի բացասական թույլատրելի արժեքներ, ապա արտադրյալը և քանորդը կներկայացվեն։ $\lg |xy|=\lg(|x|)+\lg(|y|),$

\lg \!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\lg(|x|)-\lg(|y|),

Ցանկացած թվով արտադրիչների դեպքում։ $\lg(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\lg(x_{1})+\lg(x_{2})+\dots +\lg(x_{n})$

Բնական և տասնորդական լոգարիթմների կապը՝ $\ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x$ ^[1]։ Լոգրիթմի նշանը կախված է լոգարիթմվող թվից․ եթե այն մեծ է 1-ից, ապա լոգարիթմը դրական է։ Եթե այն գտնվում է (0;1)միջակայքւմ, ապա լոգարիթմը բացասական է։Օրինակ․

\lg \,0{,}012=\lg \,(10^{-2}\times 1{,}2)=-2+\lg \,1{,}2\approx -2+0{,}079181=-1{,}920819

։

Տասնորդական լոգարիթմական ֆունկցիա խմբագրել

Լոգրիթմական ֆունկցիա է կոչվում $y=\lg \,x.$ բանաձևով տրվող ֆունկցիան, որը որոշված է ցանկացած $x>0$ արժեքների համար։Արժեքների տիրույթն է $E(y)=(-\infty ;+\infty )$ ։ Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը անվանում են լագարիթմական կոր^[2]։ Ֆունկցիան մոնոտոն աճող է, անընդհատ և դիֆերենցելի իր որոշման տիրույթում։ Ածանցյալը տրվում է

{\frac {d}{dx}}\lg \,x={\frac {\lg \,e}{x}}

բանաձևով։

$(x=0)$ հորիզոնական առանցքը հանդիսանում է հորիզոնական ասիմպտոտ, քանի որ $\lim _{x\to 0+0}\lg \,x=-\infty$ ։

Կիրառությունը խմբագրել

Տասնորդական լոգարիթմական քանոն Լոգարիթմական քանոն

Տասնորդական լոգարիթմները կիրառովում էին նույնիսկ նախքան 1970-ական թվականներին կոմպակտ էլեկտրոնային հաշվիչների հայտանգործումը։ Նրանք հնարավորություն էին տալիս պարզեցնել ու հեշտացնել հաշվարկները․ արտադրյալը փոխարինելով գումարով, քանորդը՝ տարբերությամբ։ Նման կերպ հեշտացնում էին աստիճան բարձրացնելը և արմատ հանելը։ հեշտ է որոշել նաև $x$ թվի լոգրիթմի ամբողջ մասը՝ $[\lg x]$ ։

եթե $x$ ≥1, ապա $[\lg x]$ -ը 1-ով փոքր է $[x]$ -ից
եթե 0< $x$ <1, ապա $lgx$ -ին ամենամոտ թիվը հավասար է $x$ թվի ընդհանուր զրոների քանակին մինչև առաջին ոչ զրոյական նիշը։ Սա նշանակում է, որ տասնորդական լոգարիթմները հաշվելու համար բավարար է ունենալ լոգարիթմական աղյաուսակ 1-10 թվերի սահմաններում^[3]։ Այդպիսի աղյուսակներ գոյություն են ունեցել դեռևս սկաժ 16-րդ դարից և անփոխարինելի են եղել գիտնականների ու ինժեներների համար։ Մեր օրերում տասնորդական լոգարիթմները փոխարինվում են բնականով։

Տասնորդական լոգարիթմները 5 × 10^Cթվերի համար
Թիվ	Լոգարիթմ	Բնութագրիչ	Մանտիս	Գրությունը
n	lg(n)	C	M = lg(n) − C
5 000 000	6.698 970...	6	0.698 970...	6.698 970...
50	1.698 970...	1	0.698 970...	1.698 970...
5	0.698 970...	0	0.698 970...	0.698 970...
0.5	−0.301 029...	−1	0.698 970...	1.698 970...
0.000 005	−5.301 029...	−6	0.698 970...	6.698 970...

Ուշադրություն պետք է դարձնել այն փաստին, որ բոլոր $n$ թվերի համար նույն $M$ է քանի որ

\lg(n)=\lg \left(x\times 10^{C}\right)=\lg(x)+\lg \left(10^{C}\right)=\lg(x)+C

,

որտեղ $1<x<10$ ։

Պատմություն խմբագրել

Տասնորդական լոգարիթմների աղյուսակը 1-ից մինչև 1000 թվերի համար հրատարակել է 1617թվականին Օքսֆորդի համալսարանի պրոֆեսոր Հենրի Բրիգսը։ Այդ պատճառով էլ տասնորդական լոգարիթմները երբեմն անվանում են բրիգսյան։ Սակայն դրանց մեջ սխալներ հայտնաբերվեցին։ Առաջին ճշգրիտ աղյուսակը հայտնվեց 1852 թվականին Բեռլինում(Բրեմիկերի աղյուսակ)^[4]. ։ Ռուսաստանում առաջին աղյուսակը հրատարակվեց Լ․ Մագնիցկու կողմից 1703 թվականին^[5]։ ԽՍՀՄ-ում թողարկվեցին մի քանի ձեռնարկներ^[6]․

Վ․Մ․ Բրադիս «Քառանիշ մաթեմատիկական աղյուսակներ»
Գ․Վեգա «Տասանիշ լոգարիթմական աղյուսակներ»։

Գրականություն խմբագրել

Մ․Յա․ Վիգոդսկի «Տարրական մաթեմատիկայի տեղեկագիրք»,Մոսկվա 1978
Տ․ Կորն, Գ․ Կորն «Մաթեմատիկայի տեղեկագիրք»
Գ․Մ․ Ֆիխտենգոլց «Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվ»
Մ․Ի․ Սկանավի,Վ․Վ․ Զայցեվ «Տարրական մաթեմատիկա»
Յ․Ուսպենսկի «Լոգարիթմների պատմություն»։

Ծանոթագրություններ խմբագրել

↑ ^1,0 ^1,1 Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, էջ 187.
↑ Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
↑ Տարրական մաթեմատիկա, 1976, էջ 94—100
↑ Մաթեմատիկայի պատմություն, հատոր II, 1970, էջ 62.
↑ Գնեդենկո Բ․Վ․ Ռեֆերատներ Ռուսաստանում մաթեմատիկայի պատմության վերաբերյալ,2-րդ հրատարակություն. — М., 2005. — С. 66.. — ISBN 5-484-00123-4
↑ Լոգարիթմական աղյուսակներ // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

[Выгодский_М._Я._Справочник_по_элементарной_математике—1978——187.-1] 1,0 ^1,1 Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, էջ 187.

[MATENC-2] Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.

[Տարրական_մաթեմատիկա—1976——94—100-3] Տարրական մաթեմատիկա, 1976, էջ 94—100

[Մաթեմատիկայի_պատմություն,_հատոր_II—1970——62.-4] Մաթեմատիկայի պատմություն, հատոր II, 1970, էջ 62.

[5] Գնեդենկո Բ․Վ․ Ռեֆերատներ Ռուսաստանում մաթեմատիկայի պատմության վերաբերյալ,2-րդ հրատարակություն. — М., 2005. — С. 66.. — ISBN 5-484-00123-4

[6] Լոգարիթմական աղյուսակներ // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]