Հանրահաշվի հիմնական թեորեմ

Հանրահաշվի հիմանական թեորեմը պնդում է, որ կոմպլեքս գործակիցներով ցանկացած մեկ փոփոխականի բազմանդամ ունի առնվազն մեկ կոմպլեքս արմատ։ Թեորեմի պնդումը ճիշտ է իրական գործակիցներով բազմանդամների համար նույնպես, քանի որ իրական թվերը կարելի է համարել զրոյական կեղծ մասով կոմպլեքս թվեր։

Թեորեմին համարժեք ձևակերպում է, այն պնդումը որ կոմպլեքս թվերի դաշտը հանրահաշվորեն փակ է։

Թեորեմ նաև կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ․ յուրաքանչյուր ոչ զրոյական, մեկ փոփոխականի, $n$ -րդ կարգի կոմպլեքս փոփոխականի բազմանդամ, հաշված պատիկությամբ ունի ճիշտ $n$ արմատներ։ Նշված երկու պնդումերի համարժեքությունը կարելի է ապացուցել բազմանդամների բաժանաման ալգորիթմի հաջորդական կիրառմամբ։

Հակառակ իր անվանմանը, այս թեորեմի համար հանրահաշվական ոչ մի ապացույց գոյություն չունի, քանի որ ապացույցներից ցանկացածում օգտագործվում է իրական թվերի լրիվությունը (կամ համարժեք որևէ փաստ), ինչը հանրահաշվական գաղափար չէ։ Բացի այդ, այս պնդումը ժամանակակից հանրահաշվի համար հիմնային դեր չունի․ այս անվանումը տրվել է այն ժամանակ, երբ հանրահաշվի ուսումնասիրությունը սահմանափակվում էր իրական կամ կոմպլեքս գործակիցներով բազմանդամային հավասարումների լուծման գոյության խնդիրներով։

Գրականության ցանկ

Պատմական աղբյուրները

• Cauchy, Augustin-Louis (1821), Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1^ère partie: Analyse Algébrique, Paris: Éditions Jacques Gabay (published 1992), ISBN 2-87647-053-5 {{citation}}: More than one of |ISBN= and |isbn= specified (օգնություն) (tr. Course on Analysis of the Royal Polytechnic Academy, part 1: Algebraic Analysis)
• Euler, Leonhard (1751), «Recherches sur les racines imaginaires des équations», Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, Berlin, vol. 5, էջեր 222–288, Արխիվացված է օրիգինալից 2008 թ․ դեկտեմբերի 24-ին, Վերցված է 2021 թ․ հունվարի 29-ին. English translation: Euler, Leonhard (1751), «Investigations on the Imaginary Roots of Equations» (PDF), Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, Berlin, vol. 5, էջեր 222–288
• Gauss, Carl Friedrich (1799), Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse, Helmstedt: C. G. Fleckeisen (tr. New proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree).
• Gauss, Carl Friedrich (1866), Carl Friedrich Gauss Werke, vol. Band III, Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen
  1. Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1799), pp.1-31., p. 1, at Google Books - first proof.
  2. Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1815 Dec), pp.32-56., p. 32, at Google Books - second proof.
  3. Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in factores reales demonstratio tertia Supplementum commentationis praecedentis (1816 Jan), pp.57-64., p. 57, at Google Books - third proof.
  4. Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen (1849 Juli), pp.71-103., p. 71, at Google Books - fourth proof.
• Kneser, Hellmuth (1940), «Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus», Mathematische Zeitschrift, vol. 46, էջեր 287–302, doi:10.1007/BF01181442, ISSN 0025-5874 {{citation}}: More than one of |DOI= and |doi= specified (օգնություն); More than one of |ISSN= and |issn= specified (օգնություն) (The Fundamental Theorem of Algebra and Intuitionism).
• Kneser, Martin (1981), «Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra», Mathematische Zeitschrift, vol. 177, no. 2, էջեր 285–287, doi:10.1007/BF01214206, ISSN 0025-5874 {{citation}}: More than one of |DOI= and |doi= specified (օգնություն); More than one of |ISSN= and |issn= specified (օգնություն) (tr. An extension of a work of Hellmuth Kneser on the Fundamental Theorem of Algebra).
• Ostrowski, Alexander (1920), «Über den ersten und vierten Gaußschen Beweis des Fundamental-Satzes der Algebra», Carl Friedrich Gauss Werke Band X Abt. 2 (tr. On the first and fourth Gaussian proofs of the Fundamental Theorem of Algebra).
• Weierstraß, Karl (1891). Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen. էջեր 1085–1101. Արխիվացված է օրիգինալից 2013 թ․ նոյեմբերի 2-ին. Վերցված է 2021 թ․ հունվարի 29-ին. (tr. New proof of the theorem that every integral rational function of one variable can be represented as a product of linear functions of the same variable).

Ժամանակակից գրականություն

• Almira, J.M.; Romero, A. (2007), «Yet another application of the Gauss-Bonnet Theorem for the sphere», Bulletin of the Belgian Mathematical Society, vol. 14, էջեր 341–342
• Almira, J.M.; Romero, A. (2012), «Some Riemannian geometric proofs of the Fundamental Theorem of Algebra» (PDF), Differential Geometry - Dynamical Systems, vol. 14, էջեր 1–4
• de Oliveira, O.R.B. (2011), «The Fundamental Theorem of Algebra: an elementary and direct proof», Mathematical Intelligencer, vol. 33, no. 2, էջեր 1–2, doi:10.1007/s00283-011-9199-2 {{citation}}: More than one of |DOI= and |doi= specified (օգնություն)
• de Oliveira, O.R.B. (2012), «The Fundamental Theorem of Algebra: from the four basic operations», American Mathematical Monthly, vol. 119, no. 9, էջեր 753–758, doi:10.4169/amer.math.monthly.119.09.753 {{citation}}: More than one of |DOI= and |doi= specified (օգնություն)
• Fine, Benjamin; Rosenberger, Gerhard (1997), The Fundamental Theorem of Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94657-3, MR 1454356 {{citation}}: More than one of |ISBN= and |isbn= specified (օգնություն); More than one of |MR= and |mr= specified (օգնություն)
• Gersten, S.M.; Stallings, John R. (1988), «On Gauss's First Proof of the Fundamental Theorem of Algebra», Proceedings of the AMS, vol. 103, no. 1, էջեր 331–332, doi:10.2307/2047574, ISSN 0002-9939, JSTOR 2047574 {{citation}}: More than one of |DOI= and |doi= specified (օգնություն); More than one of |ISSN= and |issn= specified (օգնություն); More than one of |JSTOR= and |jstor= specified (օգնություն)
• Gilain, Christian (1991), «Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral», Archive for History of Exact Sciences, vol. 42, no. 2, էջեր 91–136, doi:10.1007/BF00496870, ISSN 0003-9519 {{citation}}: More than one of |DOI= and |doi= specified (օգնություն); More than one of |ISSN= and |issn= specified (օգնություն) (tr. On the history of the fundamental theorem of algebra: theory of equations and integral calculus.)
• Netto, Eugen; Le Vavasseur, Raymond (1916), «Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental», in Meyer, François; Molk, Jules (eds.), Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome I, vol. 2, Éditions Jacques Gabay (published 1992), ISBN 2-87647-101-9 {{citation}}: More than one of |ISBN= and |isbn= specified (օգնություն) (tr. The rational functions §80–88: the fundamental theorem).
• Remmert, Reinhold (1991), «The Fundamental Theorem of Algebra», in Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Hermes, Hans; Hirzebruch, Friedrich (eds.), Numbers, Graduate Texts in Mathematics 123, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97497-2 {{citation}}: More than one of |ISBN= and |isbn= specified (օգնություն)
• Shipman, Joseph (2007), «Improving the Fundamental Theorem of Algebra», Mathematical Intelligencer, vol. 29, no. 4, էջեր 9–14, doi:10.1007/BF02986170, ISSN 0343-6993 {{citation}}: More than one of |DOI= and |doi= specified (օգնություն); More than one of |ISSN= and |issn= specified (օգնություն)
• Smale, Steve (1981), «The Fundamental Theorem of Algebra and Complexity Theory», Bulletin (new series) of the American Mathematical Society, vol. 4, no. 1 [1]
• Smith, David Eugene (1959), A Source Book in Mathematics, Dover, ISBN 0-486-64690-4 {{citation}}: More than one of |ISBN= and |isbn= specified (օգնություն)
• Smithies, Frank (2000), «A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra», Notes & Records of the Royal Society, vol. 54, no. 3, էջեր 333–341, doi:10.1098/rsnr.2000.0116, ISSN 0035-9149 {{citation}}: More than one of |DOI= and |doi= specified (օգնություն); More than one of |ISSN= and |issn= specified (օգնություն)
• Taylor, Paul (2007 թ․ հունիսի 2), Gauss's second proof of the fundamental theorem of algebra - English translation of Gauss's second proof.
• van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Algebra, vol. I (7th ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-40624-7 {{citation}}: More than one of |ISBN= and |isbn= specified (օգնություն)