«Կոշի-Ադամարի թեորեմ»–ի խմբագրումների տարբերություն
Content deleted Content added
ավելացվեց Կատեգորիա:Շարքեր ՀոթՔաթ գործիքով |
չ →Ապացույց: մանր-մունր oգտվելով ԱՎԲ |
||
Տող 11.
== Ապացույց ==
<math>(\alpha)</math> Դիցուք, <math>\lambda = \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}\in (0; +\infty)</math>.
Եթե <math>z \in \mathbb C</math> այնպիսի կետ է, որ <math>|z-z_{0}| < \frac{1}{\lambda}</math>, ապա <!--- <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} (\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}\cdot|z-z_{0}|) < 1</math>, ---> <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty}\sqrt[\nu]{|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|} < 1</math> եւ հնարավոր է գտնել այնպիսի <math>q < 1</math> թիվ, որ գրեթե բոլոր <math>\nu</math>-երի համար տեղի ունենա <math>\sqrt[\nu]{|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|} < q\,</math> անհավասարությունը: Այստեղից հետեւում է, որ <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}q^{\nu}</math> երկրաչափական պրոգրեսիան <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|</math> շարքի զուգամետ վերին սահման է, այսինքն՝ <math>R=\frac{1}{\lambda}</math>:
Հակառակ դեպքում, այսինքն եթե <math>z \in \mathbb C</math> բավարարում է <math>|z-z_{0}| > \frac{1}{\lambda}</math>պայմանին, ապա <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty}(\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}\cdot|z-z_{0}|)>1</math><!---, <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty}(\sqrt[\nu]{|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu})|}>1</math> ---> եւ անվերջ թվով <math>\nu</math> համարների համար տեղի կունենա <!--- <math>\sqrt[\nu]{|a_{\nu}(z-z_{0})^{\nu}|} \geqslant 1</math>, ---> <math>|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}| \geqslant 1</math> անհավասարությունը: Հետեւաբար, <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}|a_{\nu}(z-z_{0})^{\nu}|</math> շարքը <math>z</math> կետում տարամետ է, քանի որ նրա անդամները չեն ձգտում զրոյի:
Տող 19.
<math>(\beta)</math> Դիցուք, <math>\lambda = \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|} = 0</math>: Այս դեպքում ցանկացած <math>z \in \mathbb C</math>-ի համար <math>\sqrt[\nu] {|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|}</math> հաջորդականությունը զուգամիտում է զրոյի: Այդ իսկ պատճառով, եթե ընտրենք <math>q=q(z) \in (0; 1)</math> թիվ, ապա գրեթե բոլոր <math>\nu</math> համարների համար տեղի կունենա <math>|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|<q^{\nu}</math> անհավասարությունը, որտեղից, ինչպես եւ <math>(\alpha)</math> դեպքում, հետեւում է շարքի զուգամիտությունը <math>z</math> կետում: Ֆորմալ՝ <math>R = \frac{1}{+0}= +\infty</math>:
<math>(\gamma)</math> <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}</math> վերին սահմանը <math>\mathbb R</math> - ում գոյություն չունի (այսինքն, ֆորմալ՝ <math>\lambda = \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}=+\infty \in \overline{\mathbb R}</math>) այն եւ միայն այն դեպքում, երբ <math>\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}</math> հաջորդականությունը վերեւից սահմանափակ չէ: Եթե <math>z \neq z_{0}</math>, ապա անսահմանափակ է նաեւ<math>\sqrt[\nu] {|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|}</math> հաջորդականությունը<!---, նաեւ <math>|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|</math> հաջորդականությունը--->: Հետեւաբար՝ <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}a_{\nu}(z-z_{0})^{\nu}</math> շարքը <math>z \neq z_{0}</math> կետում տարամետ է: Հարկ է նշել, որ <math>z = z_{0}</math> դեպքում <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}a_{\nu}(z-z_{0})^{\nu}</math> շարքը զուգամիտում է <math>a_{0}</math>-ի: Վերջնական՝ <math>R=0</math> (այսինքն, ֆորմալ՝ <math>R = \frac{1}{+\infty}= +0</math>, փաստացի՝ <math>R = \varliminf\limits_{\nu\to+\infty} \frac{1}{\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|} }=0</math>):
== Ծանոթագրություններ ==
| |||