Կոշի-Ադամարի թեորեմ

Կոշի-Ադամարի թեորեմ (նաեւ, Ադամարի թեորեմը աստիճանային շարքերի մասին), պնդում, որը գնահատում է աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը որոշ դեպքերում: Անվանակոչվել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոսներ Կոշիի եւ Ադամարի պատվին: Թեորեմն առաջին անգամ հրապարակել է Կոշին, 1821 թվականին[1], սակայն այն աննկատ է մնացել մինչեւ Ադամարի վերահայտնաբերումը[2]: Ադամարն իր արդյունքները հրապարակել է 1888 թվականին[3]: Նա թեորեմը ներառել է 1892 թվականի իր դոկտորական դիսերտացիայում[4]:

ՁեւակերպումըԽմբագրել

Դիցուք,   - ը   զուգամիտության շառավղով աստիճանային շարք է: Այդ դեպքում՝

  եթե   վերին սահմանը գոյություն ունի եւ դրական է, ապա  ;

  եթե  , ապա  ;

  եթե  վերին սահմանը գոյություն չունի, ապա  :

ԱպացույցԽմբագրել

  Դիցուք,  .

Եթե   այնպիսի կետ է, որ  , ապա   եւ հնարավոր է գտնել այնպիսի   թիվ, որ գրեթե բոլոր  -երի համար տեղի ունենա   անհավասարությունը: Այստեղից հետեւում է, որ   երկրաչափական պրոգրեսիան   շարքի զուգամետ վերին սահման է, այսինքն՝  :

Հակառակ դեպքում, այսինքն եթե   բավարարում է  պայմանին, ապա   եւ անվերջ թվով   համարների համար տեղի կունենա   անհավասարությունը: Հետեւաբար,   շարքը   կետում տարամետ է, քանի որ նրա անդամները չեն ձգտում զրոյի:

  Դիցուք,  : Այս դեպքում ցանկացած  -ի համար   հաջորդականությունը զուգամիտում է զրոյի: Այդ իսկ պատճառով, եթե ընտրենք   թիվ, ապա գրեթե բոլոր   համարների համար տեղի կունենա   անհավասարությունը, որտեղից, ինչպես եւ   դեպքում, հետեւում է շարքի զուգամիտությունը   կետում: Ֆորմալ՝  :

    վերին սահմանը   - ում գոյություն չունի (այսինքն, ֆորմալ՝  ) այն եւ միայն այն դեպքում, երբ   հաջորդականությունը վերեւից սահմանափակ չէ: Եթե  , ապա անսահմանափակ է նաեւ  հաջորդականությունը: Հետեւաբար՝   շարքը   կետում տարամետ է: Հարկ է նշել, որ   դեպքում   շարքը զուգամիտում է  -ի: Վերջնական՝   (այսինքն, ֆորմալ՝  , փաստացի՝  ):

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Cauchy, A. L. (1821), Analyse algébrique .
  2. Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, pp. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0 . Իտալերենից թարգմանվել է անգլերեն՝ Warren Van Egmond.
  3. Hadamard, J., «Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable», C. R. Acad. Sci. Paris 106: 259–262 .
  4. Hadamard, J. (1892), «Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 4e Série VIII, https://archive.org/details/essaisurltuded00hadauoft . Также в Thèses présentées à la faculté des sciences de Paris pour obtenir le grade de docteur ès sciences mathématiques, Paris: Gauthier-Villars et fils, 1892.

ԳրականությունԽմբագրել

  • Գրաուերտ Գ., Լիբ Ի., Ֆիշեր Վ. Դիֆֆերենցիալ եւ ինտեգրալային հաշվարկներ, Մ., Мир, 1971