Մեդիալ գործողություններ

Մեդիալ գործողությունները են կոչվում այն գործողությունները, որորնք բավարարում են $(xy)(zt)=(xz)(yt)$ նույնությանը։

Դիցուք $I\subseteq R$ որևէ դրական երկարությամբ միջակայք է (փակ, բաց, կիսաբաց, վերջավոր կամ անվերջ)։

Կասենք, որ $(\cdot ):I^{2}\rightarrow I$ երկտեղ գործողությունը ինքնահամընկնող (իդեմպոտենտ) է, եթե տեղի ունի հետևյալ նույնությունը՝ $xx=x$: Կասենք, որ $(\cdot ):I^{2}\rightarrow I$ երկտեղ գործողությունը տեղափոխական է, եթե տեղի ունի հետևյալ նույնությունը՝ $xy=yx$:

Եթե$\circ :I^{2}\rightarrow I$ երկտեղ գործողությունը անընդհատ է և խիստ մոնոտոն ըստ երկու փոփոխականների, և տեղի ունի հետևյալ պայմանները՝

$(x\circ y)\circ (z\circ t)=(x\circ z)\circ (y\circ t)$ (Մեդիալություն)

$x\circ x=x$ (Ինքնահամընկնում)

$x\circ y=y\circ x$ (Տեղափոխականություն),

ապա գոյություն ունի $k:I\rightarrow R$ անընդհատ և խիստ մոնոտոն ֆունկցիա այնպիսին, որ $x\circ y=k^{-1}\left({\frac {k(x)+k(y)}{2}}\right)$, որտեղ $k^{-1}:k(I)\rightarrow I$ ֆունկցիան որոշվում է հետևյալ կերպ՝ $k^{-1}(k(x))=x,\forall x\in I$:

Եթե $N:I^{2}\rightarrow I$ երկտեղ գործողությունը մեդիալ է, իդեմպոտենտ, անընդհատ և խիստ մոնոտոն ըստ երկու փոփոխականների, ապա գոյություն ունի այնպիսի $k:I\rightarrow R$ անընդհատ և խիստ մոնոտոն ֆունկցիա և այնպիսի $a,b\in R$, $a+b=1,a,b\neq 1$ իրական թվեր, որ $N(x,y)=k^{-1}(ak(x)+bk(y))$։

Եթե $N:I^{2}\rightarrow I$ երկտեղ գործողությունը մեդիալ է, անընդհատ և խիստ մոնոտոն ըստ երկու փոփոխականների, ապա գոյություն ունի այնպիսի $k:I\rightarrow R$ անընդհատ և խիստ մոնոտոն ֆունկցիա և այնպիսի $a,b,c\in R,ab\neq 0$ իրական թվեր, որ $N(x,y)=k^{-1}(ak(x)+bk(y)+c)$։

ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՄԵԴԻԱԼ ԶՈՒՅԳԵՐ

Դիցուք $I\subseteq R$ ենթաբազմությունը որևէ դրական երկարությամբ միջակայք է (փակ, բաց, կիսաբաց, վերջավոր կամ անվերջ), իսկ $M,N:I^{2}\rightarrow I$ երկտեղ գործողությունները որոշված են միևնույն $I$ բազմության վրա։ Կասենք, որ $M$ և $N$ երկտեղ գործողությունների $(M,N)$ զույգը մեդիալ է, եթե տեղի ունի հետևյալ նույնությունը՝ $N(M(x,y),M(z,t)))=M(N(x,z),N(y,t))$։

Դիցուք $M,N:I^{2}\rightarrow I$ երկտեղ գործողությունների զույգը մեդիալ է, ընդ որում, $M$-ն ու $N$-ն անընդհատ են և խիստ մոնոտոն ըստ երկու փոփոխականների և $M$-ը մեդիալ է։ Այդ դեպքում $N$-ը ևս մեդիալ է։

Դիցուք $\cdot :I^{2}\rightarrow I$ կամայական երկտեղ գործողություն է։ Կասենք որ $\cdot$ գործողությունը նախամեդիալ է, եթե տեղի ունի հետևյալ նույնությունը՝ $(xy)(zx)=(xz)(yx)$:

Դիցուք $\circ ,\cdot :I^{2}\rightarrow I$ երկտեղ գործողությունների զույգը մեդիալ է, ընդ որում այդ գործողությունները անընդհատ են, խիստ մոնոտոն և նախամեդիալ, իսկ $\circ$ գործողությունը ինքնահամընկնող է։ Այդ դեպքում $\circ$ և $\cdot$ գործողությունները մեդիալ են։