Մասնակից:Զաբելա Աբելյան/ավազարկղ15

Թվաբանության հիմնական թեորեմը

  Ցանկացած  բնական թիվ $n>1$ կարելի է ներկայացնել  $n=p_{1}\cdot \dots \cdot p_{k}$ տեսքի, որտեղ $p_{1},\dots ,p_{k}$  պարզ թվեր են, ընդ որում այդպիսի ներկայացումը միակն է մինչև հաջորդականության համաբազմապատկիչների  հետևելու ճշգրտությամբ:

Միավորը նույնպես կարելի է հաշվել զրոյական քանակի պարզ թվերի արտադրյալ՝ «դատարկ արտադրյալ»:

Որպես հետևանք, ցանկացած $n$ բնական թիվ, միակ եղանակով ներկայացված է

$n=p_{1}^{d_{1}}\cdot p_{2}^{d_{2}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{d_{k}},$ տեսքով, որտեղ $p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}$  պարզ թվեր են և $d_{1},\dots ,d_{k}$  որոշ բնական թվեր:

Այդպիսի $n$ թվի ներկայացումը, անվանում են նրա կանոնական վերլուծությունը պարզ համաբազմապատկիչների:

Պատմություն

Հին հունական մաթեմատիկայում չի հանդիպում թվաբանության հիմնական թեորեմի ժամանակակից բանաձևումը:Բայց Էվկլիդեսի «Սկզբունքներում» կա առաջադրություն, որը նրան համարժեք է:Մասնավորապես, թեորեման հեշտությամբ հետևում է այսպես կոչված Էվկլիդեսի լեմմայից ( VII գրքի առաջադրություն 30):Չկա ճշգրիտ ձևակերպում Լեժանդրի «Թվերի տեսության ներմուծում » (ֆր.՝ Essai sur la Théorie des Nombres) գրքում , գրված 1798 թվականին: Նրա ճիշտ ձևակերպումը և ապացուցումը բերված է Գաուսի «Թվաբանական հետազոտություններ» (լատին․՝ Disquisitiones Arithmeticae) գրքում, հրատարակված 1801 թվականին:

Հետևանքներ

• Թվաբանության հիմնական թեորեման տալիս ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի համար նրբագեղ արտահայտություն:

Ա. Ը. Բ.$(a,b)=p_{1}^{min(d_{1},d_{1}')}\cdot p_{2}^{min(d_{2},d_{2}')}\cdot p_{3}^{min(d_{3},d_{3}')}\cdot p_{4}^{min(d_{4},d_{4}')}\cdots =\prod p_{i}^{min(d_{i},d_{i}')},$

Ա. Ը. Բ.$(a,b)=p_{1}^{max(d_{1},d_{1}')}\cdot p_{2}^{max(d_{2},d_{2}')}\cdot p_{3}^{max(d_{3},d_{3}')}\cdot p_{4}^{max(d_{4},d_{4}')}\cdots =\prod p_{i}^{max(d_{i},d_{i}')},$

• Գիտենալով թվի վերլուծումը բազմապատկիչների, կարելի է անմիջապես ցույց տալ այդ թվի բոլոր բաժանարարները:

  $N$ բնական թվի բաժանարար հանդիսանում է այնպիսի   $k$ բնական թիվ, որի համար  $N=k\cdot l$, որտեղ $l$ այլ բնական թիվ է: 

Օրինակ՝ $N=1164=97\cdot 3\cdot 2\cdot 2=97^{1}\cdot 3^{1}\cdot 2^{2}$.

Պարզ թվերի վերլուծության տարբեր համակցություններն օգտագործելով, կարելի է կազմել տրված թվի բոլոր բաժանարարների բազմությունը:Մեր օրինակի համար դա կլինի հետևալ բաժանարարները.

$1,2,3,97,2\cdot 2,2\cdot 3,2\cdot 97,3\cdot 97,2\cdot 2\cdot 3,2\cdot 2\cdot 97,2\cdot 3\cdot 97,2\cdot 2\cdot 3\cdot 97$

Դրա համար, որպեսզի գտնենք տրված թվի բոլոր բաժանարարների քանակը , բավարար է տեսնել հոդվածի սկզբում նշված կանոնական վերլուծությունը: $d_{1},...,d_{k}$ բնական թվերը դա ոչ այլ ինչ է,եթե ոչ $p_{1},...,p_{k}$ տրված թվերի վերլուծությունում համապատասխան պարզ թվերի քանակ: Այսպիսով, եթե ուզում ենք գտնել տրված թվի բոլոր բաժանարարների քանակը, բավարար է հաշվարկել $d_{1},...,d_{k}$ թվի բոլոր հնարավոր համակցությունների արժեքը: Մեր օրինակում 2 թիվը հանդիպում է 2 անգամ: Հետևաբար, $N$ թվի բաժանարար գտնելիս, $d_{3}$ կարող է ընդունել 0-ից մինչև 2 ամբողջ արժեքները,այսինքն կա 3 արժեքներ:Նշանակում է, որպեսզի հաշվարկենք ընդհանուր բաժանարարների քանակը, պետք է բազմապատկել $d_{k}$ տարբեր բազմապիսի արտահայտությունների քանակը:Մեր դեպում ՝ $m_{del}=2\cdot 2\cdot 3=12$

• Այսպիսով կարելի է ներկայացնել երկու թվերի արտադրյալի հաշվումը

$a\cdot b=p_{1}^{d_{1}+d_{1}'}\,p_{2}^{d_{2}+d_{2}'}\,p_{3}^{d_{3}+d_{3}'}\,p_{4}^{d_{4}+d_{4}'}\cdots =\prod p_{i}^{d_{i}+d_{i}'}.$

Օրինակ՝ $68\cdot 36=(2\cdot 2\cdot 17)\cdot (2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot )=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 17$

• Երբեմն, գտնելով ընդհանուր բաժանարարը, կարելի է, ակներևաբար պարզեցնել երկու թվերի գումարի (տարբերության) հաշվումը:

Օրինակ՝ (պարզեցնել արտահայտությունը): $8^{5}+8^{3}\cdot 61=8^{3}\cdot (8^{2}+61)=8^{3}\cdot 125=8^{3}\cdot 5^{3}=...$

Ապացույց (ինդուկցիայի մեթոդ)

Գոյություն: Ապացուցենք $n$ թվի վերլուծման գոյությունը, ենթադրենք, որ այն արդեն ապացուցված է ցանկացած ուրիշ թվի համար, որը փոքր է $n$-ից:Եթե $n$-ը, պարզ է, ուրեմն գոյությունը ապացուցված է: Եթե $n$-ը բաղադրյալ է, ապա այն կարելի է ներկայացնել $a$ և $b$ երկու թվերի արտադրյալի տեսքով, որոնցից յուրաքանչյուրը մեծ 1-ից, բայց փոքր $n$-ից:. $a$ և $b$ թվերը կամ հանդիսանում են պարզ, կամ կարող են վելուծվել պարզ թվերի արտադրյալի (արդեն վերևում ապացուցված է): Տեղադրենք նրանց վերլուծությունը $n=a\cdot b$-ի մեջ, կստանանք տրված $n$ թվի վերլուծությունը պարզ թվերի:Գոյությունը ապացուցված է

Միակություն: Սկզբում ապացուցենք հետևյալ լեմմը: Եթե $m$ թվի վերլուծությունը պարզ թվերի միակն է, ապա յուրաքանչյուր $m$ պարզ բաժանարարը պետք է այդ վերլուծության մեջ մտնի:Ենթադրենք $m$ թիվը բաժանվում է $p$-ի և ընդ որում $p$-ն պարզ է: Այդ ժանանակ տրված թիվը կարելի ներկայացնել որպես $m=p\cdot m^{(1)}$, որտեղ $m^{(1)}$, բնական թիվ է: Այդ ժամանակ $m$-ի վերլուծությունը կլինի $m^{(1)}$ թվի վերլուծություն, ավելացրած $p$ բազմապատկիչը:Մեր ենթադրությամբ, գոյություն ունի $m$ թվի միակ վերլուծություն, հետևաբար, $p$-ն պետք է հանդիպվի նրանում: Լեմմը ապացուցված է:

Այլ ապացույց (Էվկլիդեսի ապացույց)

Կարելի է ապացուցել թվաբանության հիմնական թեորեմը Էվկլիդեսի ալգորիթմի օգնությամբ. Այստեղ Էվկլիդեսի ալգորիթմը կմասնակցի ոչ բացահայտ տեսքով, այլ կօգտագործվի նրա հետևանք:

  $n\cdot a$ և $n\cdot b$  ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը  $n$ անգամ վերցրած a և b ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է:

Այդ հետևանքից կարող ենք ապացուցել Էվկլիդեսի թեորեմը:

   թե p-ն պարզ թիվ է և երկու թվերի արտադրյալը բաժանվում է  p-ի, ապա  երկու բազմապատկիչներից գոնե մեկը կբաժանվի  p-ի:

Հիմա օգտվենք տրված թեորեմից, որպեսզի ապացուցենք թվաբանության հիմնական թեորեմը:

Գոյություն: հանդիսանում է Էվկլիդեսի թեորեմայի հետևանք: Այդ թեորեմայի ապացուցման համար դիտարկենք p պարզ թիվը և $n\cdot a$ արտադրյալը: Ենթադրենք $n\cdot a$-ն բաժանվում է p-ի, բայց a-ն չի բաժանվում p-ի: Քանի որ p-ն  պարզ է, ապա նրա միակ բաժանարարը հանդիսանում է 1 և p. Այդ ժամանակ 1-ն p-ի և a-ի միակ ընդհանուր բաժանարարն է: Հետևաբար , Ա. Ը. Բ. $n\cdot p$ և $n\cdot a$ հավասար է n-ի: Ակնհայտ է, որ $n\cdot p$ բաժանվում է p-ի: Հետևաբար, քանի որ երկու թվերի ցանկացած ընդհանուր բաժանարարը նույնպես հանդիսանում է և բաժանարար նրանց Ա. Ը. Բ-ի, իսկ p-ն հանդիսանում է $n\cdot p$ և $n\cdot a$ ընդհանուր բաժանարար, այսինքն n-ը բաժանվում է p-ի:

Միակություն: ենթադրենք n թիվը ունի երկու պարզ թվերի վերլուծություն.

$n=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}\cdot ...=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdot p'_{3}\cdot ...$

Քանի որ $p'_{1}\cdot p'_{2}\cdot p'_{3}\cdot ...$ բաժանվում է $p_{1}$-ի, ապա կամ $p'_{1}$, կամ $p'_{2}\cdot p'_{3}\cdot ...$ բաժանվում է $p_{1}$-ի: Եթե $p'_{1}$-ն բաժանվում է $p_{1}$-ի, ապա $p'_{1}=p_{1}$, քանի որ երկու այդ թվերը հանդիսանում են պարզ: Եթե $p'_{2}\cdot p'_{3}\cdot ...$ բաժանվում է $p_{1}$-ի, այդ դեպքում շարունակենք նախորդ դատողությունները: Վերջ ի վերջո, հասնում ենք արդյունքի, որ $p'_{1},p'_{2},p'_{3},...$ թվերից ցանկացածը հավասար է $p_{1}$ թվին: Հետևաբար հանգում ենք եզրակացության, երկու վերլուծություններն էլ համընկնում են: Այսպիսով միակությունը ապացուցված է:

ԹՀԹ օղակներում

Դիտարկենք թվաբանության հիմնական թեորեման ավելի ընդհանուր դեպքում, սահմանված կարգով օղակներում և Էվկլիդեսյան օղակներում.

ԹՀԹ գաուսյան ամբողջ թվերի օղակում

Թվաբանության հիմնական թեորեման ունի իր տեղը գաուսյան ամբողջ թվերի օղակում: Ապացուցման գաղափարը հանդիսանում է տրված օղակում թվերի մնացորդով բաժանման ալգորիթմի գտնելը: Օղակը, որն ունի մնացորդով բաժանման ալգորիթմ, անվանում են էվկլիդեսյան. Ցանկացած էվկլիդեսյան օղակի համար, թվաբանության հիմնական թեորեմայի ապացուցումը կարելի է կատարել այնպես, ինչպես բնական թվերի համար:

Ոչ միակ վերլուծությունը օղակում

Բայց տրված թեորեմի գործողությունը չի տարածվում ամբողջ օղակում :

Դիտարկենք, օրինակ, $a=m+i\cdot n\cdot {\sqrt {5}}$ տեսքի կոմպլեքս թիվ, որտեղ $m$,$n$ ամբողջ թվեր են: Այդպիսի թվերի գումարը և արտադրյալը կլինեն նույն տեսքի թվեր: Այդ ժամանակ կստանանք սահմանված կարգով օղակ $N(a)=m^{2}+5\cdot n^{2}=a^{2}$:

Այդ օղակում 6 թվի համար գոյություն ունի երկու տարբեր վերլուծություններ $6=2\cdot 3=(1-i\cdot {\sqrt {5}})\cdot (1+i\cdot {\sqrt {5}})$: Մնում է ապացուցել, որ $2,3,1\pm i\cdot {\sqrt {5}}$ թիվը հանդիսանում է պարզ: Ապացուցենք, որ 2 թիվը պարզ է:

Ենթադրենք $2=(m_{1}+i\cdot n_{1}\cdot {\sqrt {5}})\cdot (m_{2}+i\cdot n_{2}\cdot {\sqrt {5}})$. այդ ժամանակ $4=(m_{1}^{2}+5\cdot n_{1}^{2})\cdot (m_{2}^{2}+5\cdot n_{2}^{2})$. հետևաբար, $m_{1}^{2}+5\cdot n_{1}^{2}=m_{2}^{2}+5\cdot n_{2}^{2}=2$.

Բայց մեր օղակում չկա սահմանված կարգով 2, հետևաբար, այդպիսի վերլուծություն հնարավոր չէ, դրա համար 2-ը պարզ է: Հանգունորեն քննարվում է $3,1\pm i\cdot {\sqrt {5}}$ թվերը:

Օղակը, որում թվաբանության հիմնական թեորեմը կատարվում է, անվանում ենք ֆակտորիալ.

Տես նաև

• Основная теорема алгебры
• Основная теорема анализа
• Простое число
• Алгоритм Евклида
• Видео доказательство основной теоремы арифметики

Գրականություն

• Жиков В.В. Основная теорема арифметики // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6. — № 3. — С. 112–117.
• Г. Дэвенпорт. Высшая арифметика. — Наука, 1965. — С. 15-38. — 176 с.
• Л. А. Калужин. Основная теорема арифметики. — Популярные лекции по математике. — М.: Наука, 1969. — 32 с.
• И. М. Виноградов. Основы теории чисел. — Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с. — 10 000 экз.
• Р. Курант, Г. Роббинс. Дополнение к главе I, § 4.2 // Что такое математика? — МЦНМО, 2000. — 568 с.