Հարշադի թվեր

Հարշադի թիվ, բնական թիվ, որն առանց մնացորդի բաժանվում է իր թվանշանների գումարի վրա։ Այդպիսի թիվ է, օրինակ, 1729-ը, քանի որ 1729 = (1 + 7 + 2 + 9) × 91։

Ակնհայտ է, որ 1-ից 10 բոլոր թվերը հարշադի թվեր են։

10-ից մեծ առաջին 50 հարշադի թվերն են՝ 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200 (A005349-ի հաջորդականությունը OEIS-ում)։

Հարկ է նշել, որ այն թվերը, որոնք հարշադի թիվ են համարվում բոլոր հաշվարկման համակարգերում, անվանում են հարշադի ընդհանրացված թվեր։ Դրանք ընդամենը չորսն են՝ 1, 2, 4, 6։

«Հարշադի թվեր» հասկացությունը մաթեմատիկա է ներմուծել հնդիկ մաթեմատիկոս Դաթարի Ռամչադրա Կափրեքը։ «Հարշադ» բառը ծագել է սանսկրիտերեն harṣa ^IAST բառից, որն նշանակում է «մեծ ուրախություն»։

Հարշադի թվերի բաշխման խտության գնահատումը

Համարենք, որ $N(x)$-ը $x$-ը չգերազանցող հարշադի թվերի քանակն է։ Այդ դեպքում ցանկացած ε > 0 արտահայտության համար

$x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}$

ինչպես ցույց են տվել Ժան-Մարի դե Քոնինկը և Նիկոլաս Դոյոնին։ Ավելին, դե Քոնինկը, Դոյոնին և Քատաին ապացուցել են, որ

$N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}}$

որտեղ

$c={\frac {14}{27}}ln10\approx 1.1939$։