Լամեի հաստատուններ

Լամեի հաստատուններ, դեֆորմացվող իզոտրոպ պինդ մարմնի որևէ կետում առաձգական լարման և դեֆորմացիայի բաղադրիչները կապող մեծություններ։ Կոչվում են ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Գաբրիել Լամեի անվամբ։ Լամեի հաստատուններով լարման և դեֆորմացիայի բաղադրիչների կապը գրվում է

$\sigma =2\mu \varepsilon +\lambda \;\mathrm {Tr} (\varepsilon )I$

տեսքով, որտեղ OT-ն և X-և լարման նորմալ և շոշափող բաղադրիչներն են, e-ը՝ դեֆորմացիայի բաղադրիչները, X-ն և |ւ-ն՝ Լ. հ.։ Առաձգականության մոդուլների և v Պուասոնի գործակցի E հետ Լամեի հաստատունները կապված են

$\lambda ={\frac {\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$

$\mu ={\frac {E}{2(1+\nu )}}$

առնչություններով, որտեղ E-ն երկայնական առաձգականության մոդուլն է, G-ն՝ սահքի մոդուլը։

Դիցուք եռաչափ տարածությունում տրված է կոորդինատների համակարգ՝ $\{q_{1},q_{2},q_{3}\}$:Պատկերացնենք անվերջ փոքր վեկտոր $ds$-ն՝ ներկայացված վեկտորների դեկարդյան $i,j,k$ բազիսով և կորագիծ կոորդինատային համակարգում բազիսային վեկտորների $e_{1},e_{2},e_{3}$ հավաքածույով։

$ds=idx+jdy+kdz$

$ds=e_{1}dq_{1}+e_{2}dq_{2}+e_{3}dq_{3}$

Որպեսզի $q_{1},q_{2},q_{3}$ մեծությունները կարողանան դիտարկվել վորպես էլեմենտի կոորդինատներ, տարածության որոշակի մասում, անհրաժեշտ է հակառակ արտահայտությունը.

${\begin{cases}x=x(q_{1},q_{2},q_{3})\\y=y(q_{1},q_{2},q_{3})\\z=z(q_{1},q_{2},q_{3})\end{cases}}$

(1)  Հավասարման մեջ դեկարդյան կոորդինատների դիֆերենցիալները արտահայտենք կորագծային կոորդինատների դիֆերենցիալներով.

$dx={\partial x \over \partial q_{1}}dq_{1}+{\partial x \over \partial q_{2}}dq_{2}+{\partial x \over \partial q_{3}}dq_{3},$

$dy={\partial y \over \partial q_{1}}dq_{1}+{\partial y \over \partial q_{2}}dq_{2}+{\partial y \over \partial q_{3}}dq_{3},$

$dz={\partial z \over \partial q_{1}}dq_{1}+{\partial z \over \partial q_{2}}dq_{2}+{\partial z \over \partial q_{3}}dq_{3}$

այդ դեպքում.

$e_{1}=i{\partial x \over \partial q_{1}}+j{\partial y \over \partial q_{1}}+k{\partial z \over \partial q_{1}},$

$e_{2}=i{\partial x \over \partial q_{2}}+j{\partial y \over \partial q_{2}}+k{\partial z \over \partial q_{2}},$

$e_{3}=i{\partial x \over \partial q_{3}}+j{\partial y \over \partial q_{3}}+k{\partial z \over \partial q_{3}}$

Եթե կոորդինատների $\{q_{1},q_{2},q_{3}\}$ համակարգը ուղղանկյուն է, ապա տարածության յուրաքանչյուր կետում $e_{1},e_{2}$ և $e_{3}$ վեկտորները զույգ առ զույգ ուղղանկյուն են։

$e_{i}e_{j}=\lVert e_{i}\rVert ^{2}\delta _{i}j$

Որտեղ $\lVert e_{i}\rVert$ -ն $e_{i}$վեկտորի նորմն է,

$\delta _{i}j$-ն Կրոնեկերի դելտա-սիմվոլը, որը որոշվում է հետևյալ բանաձևով.

$\delta _{i}j=\delta _{j}i={\begin{cases}1,i=j\\0,i\neq j\end{cases}}$

$e_{i}$ վեկտորի նորմ անվանում են նաև Լամեի գործակից` $H_{i}$, $q_{i}$ կոորդինատի համար $M$ կետում։

$H_{i}={\sqrt {{\biggl (}{\partial x \over \partial q_{i}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\partial y \over \partial q_{i}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\partial z \over \partial q_{i}}{\biggr )}^{2}}}$, $(i=1,2,3)$

(1)  և (2) բանաձևերից հետևում է որ, ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում կամայական թեքի կորության երկարության դիֆերենցիալի քառակուսին կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ.

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$

$ds^{2}=H_{1}^{2}dq_{1}^{2}+H_{2}^{2}dq_{2}^{2}+H_{3}^{2}dq_{3}^{2}$

Եթե $\{q_{1},q_{2},q_{3}\}$ համակարգից երկու կոորդինատներ ֆիքսենք, ապա (7) հավասարումը կբերվի, Լամեի գործակիցների համար, հետևյալ տեսքի.

$H_{i}={\partial s \over \partial q_{i}}$ $(i=1,2,3)$

Արդյունքում մենք ստանում ենք Լամեի գործակիցների հաշվարկի մեկ այլ միջոց, համաձայն որի բավական է նշել կոորդինատային $q_{i}$ գծի անվերջ փոքր էլեմենտի կորի երկարության հարաբերությունը $q_{i}$ կոորդինատի դիֆերենցիալին:Օրինակ գլանային կոորդինատների համակարգում $\rho$ և $z$ կոորդինատային գծերն են հանդիսանում կիսաուղիղը և ուղիղը համապատասխանաբար, որի հետևանքով $H_{\rho }=H_{z}=1$ :Քանի որ կոորդինատային $\varphi$ գիծ հանդիսանում է $\rho$ շառավղով շրջանագիծը, ապա $ds=\rho d\varphi$ և $H_{\varphi }=\rho :$Կորագիծ կոորդինատային համակարգում ծավալի էլեմենտը որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

$dV=H_{1}H_{2}H_{3}dq_{1}dq_{2}dq_{3}$

Այդ դեպքում գլանային կոորդինատային համակարգում `

$dV=\rho d\rho d\varphi dz$

Գնդային կոորդինատային համակարգում՝

$dV=r^{2}\sin \theta drd\varphi d\theta :$

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 479)։