Եքիդնաեդր

Եքիդնաեդր
Համաչափության խումբ	Իկոսաեդրական (Ih)
Տիպ	Իկոսաեդրի աստղային ձև
Նշանակում	Դյու Վալ՝ H Վենինջեր՝ W42
Տարրեր (աստղային բազմանկյան տեսքով)	Г = 20, Р = 90 В = 60 (χ = −10)
Տարրեր (իկոսաեդրի համաստեղության տեսքով)	Г = 180, Р = 270 В = 92 (χ = 2)
Հատկություններ (որպես աստղային բազմանկյուն)	վերնանցումային, անկյունային֊անցումային
Եքիդնաեդրի էնեագրամ Աստղային բազմանիստի կողմնային կողերը Ուռուցիկ մարմին Իկոսաեդր Հատած իկոսաեդր

Եքիդնաեդր (անգլ.՝ echidnahedron), իկոսաեդրի աստղային վերջին ձևը։ Կոչվում է նաև իկոսաեդրի լրիվ կամ ավարտուն տեսք, քանի որ այն պարունակում է իկոսաեդրի աստղային դիագրամի բջիջները։

Առաջին անգամ եքիդնաեդրը նկարագրվել է 1900 թվականին Մաքս Բրյունկերի կողմից։ Պատկերին անվանում է տվել Էնդրյու Հյումը` հենվելով այն բանի վրա, որ նրա անկյունները վերին մասում փոքր են և դա նրան նմանեցնում է ոզնու կամ եքիդնայի։

Պատկերացում

Հրեական ծագումով ամերիկացի մաթեմատիկոս Բրանկո Գրյունբամը գիտական գրականության վերլուծության հիման վրա «Կարո՞ղ է արդյոք բազմանկյան ամեն հարթությունն ունենալ մի քանի կողմեր» հոդվածում նշում է, որ գոյություն ունեն բազմանկյունները դիտարկելու առնվազն երեք եղանակներ։ Եքիդնաեդրի դեպքոիմ դրանք են.

• 180 եռանկյունային կողմերի միավորում
• 20 ինքնահատվող կողմերի հատում` էնեագրամ
• 18 անկյունանի աստղաձև բազմանկյունների հատում։

Իկոսաեդրի համաստեղության ձև

Ինչպես բազմանկյան պարզ, տեսանելի մակերևույթը, եքիդնաեդրի արտաքին տեսքը կազմված է 180 եռանկյուն կողմերից, որոնք ձևավորում են 270 նիստեր, որոնք, իրենց հերթին, հանդիպում են 92 գագաթներում։

Եքիդնադրի բոլոր գագաթները գտնվում են համակենտրոն երեք գնդերի մակերևույթին։ Ներքին` 20 գագաթներից կազմված խումբը ձևավորում է կանոնավոր դոդեկաեդրի գագաթներ։ 12 գագաթների հաջորդ խումբը ձևավորում է կանոնովոր իկոսաեդրի գագաթներ, իսկ արտաքին` 60 գագաթների շերտը ձևավորում է հատած իկոսաեդրի գագաթներ։

Յուրաքանչյուր գագաթի հարթության ուռուցիկ մակերևույթը

Ներքին	Միջին	Արտաքին	Բոլոր երեքը
20 գագաթ	12 գագաթ	60 գագաթ	92 գագաթ
Դոդեկաեդր	Իկոսաեդր	Հատած իկոսաեդր	Եքիդնաեդր

Աստղային բազմանիստերի ձև

20 (9/4) բազմանկյուն կողեր

Իկոսաեդրի աստղային դիագրամը

Իկոսաեդրի աստղային ձևը դիտարկվել է որպես ինքնահատվող աստղային բազմանիստ, որն ունի 20 նիստ, ինչը համապատասխանում է իկոսաեդրի 20 նիստերին։ Ամեն նիստը անկանոն աստղակերպ բազմանիստ է (կամ էնեագրամ)։ Յուրաքանչյուր երեք ծայրերը ձևավորում են մեկ գագաթ, այդ իսկ պատճառով էլ եքիդնաեդրն ունի 20 × 9 ÷ 3 = 60 գագաթ և 20 × 9 ÷ 2 = 90 կողեր (աստղային բազմանիստի յուրաքանչյուր կող ներառում է բազմանիստի 180 տեսանելի կողերից երկուսը)։

Իկոսաեդրի վերջնական ձև

Բազմանիստի այս աստղային ձևը ձևավորվում է իկոսաեդրին բոլոր հատվածների միացման եղանակով, որոնք ստացվում են իկոսաեդրի կողմը անվերջ հարթություններով երկարացնելիս։ Այդպիսով ստացվում է նոր բազմանիստ, որ սահմանափակված է այդ հարթություններով որպես կոզմեր, իսկ հարթությունների հատումը նիստերն են։ Հարոլդ Կոկստերի «Հիսունինը իկոսաեդր» գրքում թվարկված են իկոսաեդրի համաստեղությունները (ներառյալ` եքիդնաեդրը)` համապատասխան ամերիկացի հոգեբան Ջեֆրի Միլլերի առաջ քաշած կանոնների։

Առանձնահատկություններ

Անվանում և դասակարգում

• Եքիդնաեդրի Դյու Վալի խորհրդանիշ։ Դա H-ն է, քանի որ ներառում է համստեղության սխեմայի բոլոր բջիջները, այդ թվում` «h» մակարդակը։
• Մագնուս Վենինջերի գրքում գրքում եքիդնաեդրն ունի W<sub>42</sub> ինդեքս։
• Եթե եքիդնաեդրի կողմերը լինեին կանոնավոր էնեագրամներ, ապա այն կարելի էր դիտարկել Շլեֆլիի խորհրդանիշով {9/4, 3} կանոնավոր բազմանիստ։ Դա նշանակում է, որ ամեն գագաթին հատվում են երեք կողմեր, որտեղ ամեն կողմը անկանոն` 9/4 աստղային բազմանիստ է։

Բնութագրիչներ

Եքիդնաեդրի Էյլերի բնութագիրը հավասար է 2-ի։ Այդ բնութագիրը հաշվվում է $\chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}},$ բանաձևով, որտեղ Г-ն, Р-ն և В-ն համապատասխանաբար կողմերը, նիստերը և գագաթներն են մատնանշում։

• Եթեեքիդնաեդրը դիտարկենք որպես աստղակերպ բազմանիստ, ապա իկոսաեդր ավարտուն ձևը կլինի կատարյալ բազմանիստ, քանի որ այն հավասարանիստ է։

Բանաձևեր

Եթե եքիդնաեդրը դիտարկենք որպես երկրաչափական մարմին` նիստերի a, Φa, Φ2a և Φ2a√2 երկարությամբ (որտեղ Φ-ը ոսկե հատումն է), ապա եքիդնաեդրի մակերևույթի մակերեսը կլինի

$S={\frac {1}{20}}(13211+{\sqrt {174306161}})a^{2}\,,$

իսկ ծավալը`

$V=(210+90{\sqrt {5}})a^{3}\,.$

• Գնդերի շառավիղները, որոնց վրա տեղադրված են եքիդնաեդրի գագաթները, գտնվում են հետևյալ հարաբերության մեջ

${\sqrt {{\frac {3}{2}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)}}\,:\,{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(25+11{\sqrt {5}}\right)}}\,:\,{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(97+43{\sqrt {5}}\right)}}\,.$.

• Եքիդնաեդրի իներցիայի տենզորը կարող է ներկայացվել որպես 3×3 անկյունագծային մատրիցա, որի գլխավոր անկյունագծի տարրերը հավասար են $\textstyle {\frac {1}{45}}\left(299+131{\sqrt {5}}\right)Ma^{2}$ (որտեղ M — ընդհանուր զանգված)։

Պատմական ակնարկ

Եքիդնաեդրը աստղային բազմանիստերից է, որոնք առաջին անգամ նկարագրվել են 1619 թվականին Յոհան Կեպլերի Harmonices Mundi գրքում։ Կեպլերը մաթեմատիկորեն հիմնավորել է կանոնավոր աստղային բազմանիստերի երկու տեսակ` աստղային փոքր դոդեկաեդրը և աստղային մեծ դոդեկաեդրը։ Ավելի ուշ` 1809 թվականին, Լուի Պուանսոն կրկին բացահայտել է Կեպլերի բազմանիստերը` բացահայտելով աստղային բազմանիստերի ևս երկու տեսակ` մեծ դոդեկաեդրը և մեծ իկոսաեդրը, որոնք ներկայումս կոչվում են Կեպլեր-Պուանսոյի մարմիններ։ 1812 թվականին Օգյուստեն Լուի Կոշին ապացուցել է, որ գոյություն ունի կանոնավոր աստղային բազմանիստերի 4 տեսակ միայն։

Առաջին անգամ եքիդնաեդրը նկարագրվել է 1900 թվականին Մաքս Բրյունկերի կողմից բազմանկյունների մասին «Բազմանկյուններ ու բազմանիստեր» դասական աշխատության մեջ, որտեղ բացի նրանից նկարագրվել են իկոսաեդրի աստղային 9 ձևեր ևս։ Դրանից հետո եքիդնաեդրը հայտնվել է նաև ուրիշ մաթեմատիկոսների աշխատություններում, ընդ որում այն միասնական նշանակություն չի ունեցել:1924 թվականին Ալբերտ Վիլերը հրատարակել է աստղային 20 պատկերներ, որոնց թվում էր նաև եքիդնաեդրը։ Աստղային բազմանիստերի ավելի լիարժեք ուսումնասիրություն է անցկացրել Հարոլդ Քոքսեթերը Պատրիկ դյու Վալի, Ֆլեյզերի և Ջոն Պետրիի հետ։ Քոքսեթերն ապացուցել է, որ գոյություն ունի իկոսաեդրի աստղակերպ 59 տեսակ միայն, որից 32-ն ունեն լիարժեք, իսկ 27-ը` ոչ լիարժեք իկոսաեդրալ համաչափություն։ Եքիդնաեդրը գրքում ութերորդն է։ Մագնուս Վենինջերի «Բազմանիստերի մոդելներ» աշխատության մեջ, որ տպագրվել է 1974 թվականին, եքիդնաեդրը ներկայացված է որպես իկոսաեդրի 17-րդ մոդել` W₄₂ ցուցիչով։

Իկոսաեդրի վերջին աստղային ձևի ժամանակակից անվանումը տվել է Էնդրյու Հյումը 1995 թվականին՝ echidnahedron (եքիդնան ոչ մեծ կաթնասուն է` ծածկված կոպիտ մազերով ու փշերով, որոնք գնդի են վերածվում պաշտպանության ժամանակ)։

Գրականություն

• Harold Scott MacDonald Coxeter, P. Du Val, H. T. Flather, J. F. Petrie Пятьдесят Девять Икосаэдров = The Fifty-Nine Icosahedra. — 3-е изд. — Tarquin, 1999. — P. 30–31. — 72 p. — ISBN 978-1-899618-32-3
• Magnus J. Wenninger Модели многогранников = Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1971. — P. 65. — ISBN 0-521-09859-9
• Louis Poinsot Записки о многоугольниках и многогранниках = Memoire sur les polygones et polyèdres. — J. de l'École Polytechnique, 1810. — P. 16–48.
• Peter R. Cromwell Многогранники = Polyhedra. — Cambridge University Press, 1997. — P. 268. — ISBN 0-521-66405-5
• Max Brückner Многоугольники и многогранники: теория и история = Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. — Leipzig: B. G. Teubner Verlag, 1900. — ISBN 978-1-4181-6590-1
• A. H. Wheeler Некоторые формы икосаэдра и метод получения и обозначения высших многогранников(անգլ.) = Certain forms of the icosahedron and a method for deriving and designating higher polyhedra // Proc. Internat. Math. Congress. —Toronto, 1924. — Vol. 1. — P. 701–708.
• Gerald Jenkins, Magdalen Bear Последняя звёздчатая форма икосаэдра: расширенная математическая модель — вырезать и склеить = The Final Stellation of the Icosahedron: An Advanced Mathematical Model to Cut Out and Glue Together. — Norfolk, England: Tarquin Publications, 1985. — ISBN 978-0-906212-48-6
• Branko Grünbaum Может ли каждая грань многогранника иметь много сторон?(անգլ.) = Can Every Face of a Polyhedron Have Many Sides?. — 2008. — P. 15.