Բացել գլխավոր ցանկը

Դաշտի տեսություն մաթեմատիկայում, վեկտորական և սկալյար դաշտերի հատկություններն ուսումնասիրող մաթեմատիկական տեսություն։

Բովանդակություն

ՆկարագրությունԽմբագրել

Սկալյար և վեկտորական դաշտերԽմբագրել

Մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի մի շարք խնդիրների ուսումնասիրությունը հանգեցվում է տարածության (կամ հարթության) տիրույթների ուսումնասիրման, որոնց յուրաքանչյուր Р կետին համապատասխանության մեջ է դրվում   թիվ (ջերմաստիճան, ճնշում, խտություն և ալն) կամ   վեկտոր (արագություն, ուժ և այլն)։ Այդպիսի տիրույթները, իրենց մեջ որոշված   կամ   ֆունկցիաներով, համապատասխանաբար կոչվում են սկալյար կամ վեկտորական դաշտեր։ Սկալյար դաշտի տրումը համարժեք է։ 

թվային ֆունկցիայի, իսկ վեկտորական դաշտինը՝ առանցքների վրա

  

պրոյեկցիաների տրմանը։

Հաստատուն և փոփոխական դաշտերԽմբագրել

Եթե  ,   ֆունկցիաները ժամանակից կախված չեն, ապա դաշտը կոչվում է ստացիոնար (հաստատուն), հակառակ դեպքում՝ ոչ ստացիոնար (փոփոխական)։

Ոլորտային և գլանային դաշտերԽմբագրել

Սկալյար դաշտերը պատկերվում են   հավասարումով որոշվող մակարդակի մակերևույթների կամ մակարդակի գծերի օգնությամբ։ Եթե գոյություն ունի այնպիսի O կետ (Н առանցք), որ  -ն կախված է միայն ОР (P-ից Н) հեռավորությունից, ապա դաշտը կոչվում է կենտրոնական կամ ոլորտային (առանցքային կամ գլանային)։ Ոլորտային և գլանային դաշտերի մակարդակի մակերևույթները համապատասխանաբար ոլորտներ և գլաններ են։

Դաշտի գրադիենտԽմբագրել

Եթե  դիֆերենցելի Է, ապա սկալյար դաշտի յուրաքանչյուր կետի համապատասխանում է u-ի ամենաարագ աճի ուղղությունը ցույց տվող վեկտոր (գրադիենտ, անգլ.՝ gradu), որի երկարությունը հավասար է այդ ուղղությամբ u-ի աճման արագությանը։

Վեկտորական մակերևույթներԽմբագրել

Վեկտորական դաշտերի նկարագրման համար կիրառվում են գծեր, որոնք իրենց յուրաքանչյուր   կետում ունեն   վեկտորի ուղղությունը, այսինքն բավարարում են դիֆերենցիալ

 

հավասարումների համակարգին։ Այդ գծերով կազմված մակերևույթը կոչվում է վեկտորական մակերևույթ և բնութագրվում է նրանով, որ յուրաքանչյուր   վեկտոր ընկած է   կետում մակերևույթի շոշափող հարթության վրա։ Փակ կորը հատող վեկտորական գծերով կազմված մակերևույթը կոչվում է վեկտորական խողովակ։ Դաշտը, կախված տարածության մեջ վեկտորների ունեցած դիրքից, կոչվում է հարթ (վեկտորներն ընկած են մի հարթության մեջ), հարթ-զուգահեռ (հարթության միևնույն կետին պրոյեկտվող բոլոր կետերում դաշտի վեկտորներն իրար հավասար են և զուգահեռ այդ հարթությանը), կենտրոնական (վեկտորներն ընկած են միևնույն կետով անցնող ուղիղների վրա) և այլն։

Վեկտորական դաշտի հոսքԽմբագրել

Վեկտորական դաշտի հոսք Տ մակերևույթով կոչվում է

 

ինտեգրալը, որտեղ  -y   վեկտորի պրոյեկցիան է մակերևույթի՝ իր ուղղությունն անընդհատորեն փոփոխող նորմալի ուղղության վրա։

Վեկտորական դաշտի ցիրկուլյացիաԽմբագրել

Վեկտորական դաշտի շրջանառություն (ցիրկուլյացիա)   փակ կորով կոչվում է

 

ինտեգրալը, որտեղ   -ի պրոյեկցիան է L կորի շոշափողի ուղղության վրա։

Վեկտորական դաշտի դիվերգենցիա և ռոտորԽմբագրել

Վեկտորական դաշտի փոփոխությունը որևէ կետի շրջակայքում առաջին մոտավորությամբ բնութագրվում է երկու մեծությունով՝ սկալյար, որը կոչվում է դաշտի տարամիտություն (դիվերգենցիա,  ) և վեկտորական, որը կոչվում է դաշտի մրրիկ (ռոտոր,  

Պոտենցիալ (ոչ մրրկային) և սոլենոիդալ վեկտորական դաշտերԽմբագրել

Վեկտորական դաշտը կոչվում է պոտենցիալ՝ ոչ մրրկային (բնութագրվում է   պայմանով), եթե

 ։

Վեկտորական դաշտը կոչվում է սոլենոիդալ (բնութագրվում է   պայմանով), եթե

 ։

Այս դեպքում  -ն կոչվում է   դաշտի վեկտոր պոտենցիալ։

Վեկտորական դաշտի գաղափարն այլ տարածություններումԽմբագրել

Սկալյար և վեկտորական դաշտերի գաղափարները դիտարկվում են նաև ո-չափանի էվկլիդեսյան տարածության մեջ։

ԳրականությունԽմբագրել

  • Кочин Н․ Е․, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 7 изд․, М․, 1951
  • Дубнов Я․ С․, Основы векторного исчисления, ч․1, 4 изд․, М․—Л․, 1950, ч․ 2, М․, 1952
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 289