Դաշտի տեսություն

Դաշտի տեսություն մաթեմատիկայում, վեկտորական և սկալյար դաշտերի հատկություններն ուսումնասիրող մաթեմատիկական տեսություն։

Նկարագրություն

Սկալյար և վեկտորական դաշտեր

Մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի մի շարք խնդիրների ուսումնասիրությունը հանգեցվում է տարածության (կամ հարթության) տիրույթների ուսումնասիրման, որոնց յուրաքանչյուր Р կետին համապատասխանության մեջ է դրվում $u(P)$ թիվ (ջերմաստիճան, ճնշում, խտություն և ալն) կամ ${\vec {a}}(P)$ վեկտոր (արագություն, ուժ և այլն)։ Այդպիսի տիրույթները, իրենց մեջ որոշված $u(P)$ կամ ${\vec {a}}(P)$ ֆունկցիաներով, համապատասխանաբար կոչվում են սկալյար կամ վեկտորական դաշտեր։ Սկալյար դաշտի տրումը համարժեք է։$u(x,y,z)$

թվային ֆունկցիայի, իսկ վեկտորական դաշտինը՝ առանցքների վրա

${\vec {a}}(P)$-ի $a_{x},a_{y},a_{z}$

պրոյեկցիաների տրմանը։

Հաստատուն և փոփոխական դաշտեր

Եթե $u(P)$, ${\vec {a}}(P)$ ֆունկցիաները ժամանակից կախված չեն, ապա դաշտը կոչվում է ստացիոնար (հաստատուն), հակառակ դեպքում՝ ոչ ստացիոնար (փոփոխական)։

Ոլորտային և գլանային դաշտեր

Սկալյար դաշտերը պատկերվում են $u(P)=const$ հավասարումով որոշվող մակարդակի մակերևույթների կամ մակարդակի գծերի օգնությամբ։ Եթե գոյություն ունի այնպիսի O կետ (Н առանցք), որ $u(P)$-ն կախված է միայն ОР (P-ից Н) հեռավորությունից, ապա դաշտը կոչվում է կենտրոնական կամ ոլորտային (առանցքային կամ գլանային)։ Ոլորտային և գլանային դաշտերի մակարդակի մակերևույթները համապատասխանաբար ոլորտներ և գլաններ են։

Դաշտի գրադիենտ

Եթե $u(x,y,z)$-ը դիֆերենցելի Է, ապա սկալյար դաշտի յուրաքանչյուր կետի համապատասխանում է u-ի ամենաարագ աճի ուղղությունը ցույց տվող վեկտոր (գրադիենտ, անգլ.՝ gradu), որի երկարությունը հավասար է այդ ուղղությամբ u-ի աճման արագությանը։

Վեկտորական մակերևույթներ

Վեկտորական դաշտերի նկարագրման համար կիրառվում են գծեր, որոնք իրենց յուրաքանչյուր $P$ կետում ունեն ${\vec {a}}(P)$ վեկտորի ուղղությունը, այսինքն բավարարում են դիֆերենցիալ

${\frac {dx}{a_{x}}}={\frac {dy}{a_{y}}}={\frac {dz}{a_{z}}}$

հավասարումների համակարգին։ Այդ գծերով կազմված մակերևույթը կոչվում է վեկտորական մակերևույթ և բնութագրվում է նրանով, որ յուրաքանչյուր ${\vec {a}}(P)$ վեկտոր ընկած է $P$ կետում մակերևույթի շոշափող հարթության վրա։ Փակ կորը հատող վեկտորական գծերով կազմված մակերևույթը կոչվում է վեկտորական խողովակ։ Դաշտը, կախված տարածության մեջ վեկտորների ունեցած դիրքից, կոչվում է հարթ (վեկտորներն ընկած են մի հարթության մեջ), հարթ-զուգահեռ (հարթության միևնույն կետին պրոյեկտվող բոլոր կետերում դաշտի վեկտորներն իրար հավասար են և զուգահեռ այդ հարթությանը), կենտրոնական (վեկտորներն ընկած են միևնույն կետով անցնող ուղիղների վրա) և այլն։

Վեկտորական դաշտի հոսք

Վեկտորական դաշտի հոսք Տ մակերևույթով կոչվում է

$\iint \limits _{S}a_{n}ds=\iint \limits _{S}a_{x}dydz+a_{y}dsdx+a_{z}dxdy$

ինտեգրալը, որտեղ $a_{n}$-y ${\vec {a}}(P)$ վեկտորի պրոյեկցիան է մակերևույթի՝ իր ուղղությունն անընդհատորեն փոփոխող նորմալի ուղղության վրա։

Վեկտորական դաշտի ցիրկուլյացիա

Վեկտորական դաշտի շրջանառություն (ցիրկուլյացիա) $L$ փակ կորով կոչվում է

$\oint _{L}a_{r}ds=\oint _{L}a_{x}dx+a_{y}dy+a_{z}dz$

ինտեգրալը, որտեղ $a_{r}$-ը ${\vec {a}}(P)$-ի պրոյեկցիան է L կորի շոշափողի ուղղության վրա։

Վեկտորական դաշտի դիվերգենցիա և ռոտոր

Վեկտորական դաշտի փոփոխությունը որևէ կետի շրջակայքում առաջին մոտավորությամբ բնութագրվում է երկու մեծությունով՝ սկալյար, որը կոչվում է դաշտի տարամիտություն (դիվերգենցիա, $div{\vec {a}}$) և վեկտորական, որը կոչվում է դաշտի մրրիկ (ռոտոր, $rot{\vec {a}}$)։

Պոտենցիալ (ոչ մրրկային) և սոլենոիդալ վեկտորական դաշտեր

Վեկտորական դաշտը կոչվում է պոտենցիալ՝ ոչ մրրկային (բնութագրվում է $rot{\vec {a}}=0$ պայմանով), եթե

${\vec {a}}(P)=gradu(P)$։

Վեկտորական դաշտը կոչվում է սոլենոիդալ (բնութագրվում է $div{\vec {a}}=0$ պայմանով), եթե

${\vec {a}}(P)=rot{\vec {b}}(P)$։

Այս դեպքում ${\vec {b}}(P)$-ն կոչվում է ${\vec {a}}(P)$ դաշտի վեկտոր պոտենցիալ։

Վեկտորական դաշտի գաղափարն այլ տարածություններում

Սկալյար և վեկտորական դաշտերի գաղափարները դիտարկվում են նաև ո-չափանի էվկլիդեսյան տարածության մեջ։

Գրականություն

• Кочин Н․ Е․, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 7 изд․, М․, 1951
• Дубнов Я․ С․, Основы векторного исчисления, ч․1, 4 изд․, М․—Л․, 1950, ч․ 2, М․, 1952

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 289)։