Դ'Ալամբերի հայտանիշ

Մաթեմատիկական հայտանիշ, որն առաջարկել է Դ՛Ալամբերը (ֆր.՝ Jean Le Rond D'Alembert):

Ժան Լը Ռոն Դ՛Ալամբերը (ֆր.՝ Jean Le Rond D'Alembert)

Այն վերաբերում է ոչ բացասական անդամներով թվային շարքերին։

ՀայտանիշԽմբագրել

Դիցուք տրված է դրական անդամներով

    (3) շարքը և՝  :

Այդ դեպքում, եթե՝

1.  <1, ապա (3) շարքը զուգամետ է։

2.  >1 ( -ն կարող է լինել + ), ապա (3)-ը տարամետ է։

3.  =1, ապա ոչինչ պնդել հնարավոր չէ (կան և զուգամետ և տարամետ շարքերի օրինակներ)։

ԱպացույցԽմբագրել

Առաջին կետի ապացույցԽմբագրել

Եթե  <1, ապա որևէ   թվի համար կունենանք՝  

Այստեղից՝    :

Բազմապատկելով այս   թվով անհավասարությունները, կստանանք՝

 

Ուրեմն՝

  շարքաը զուգամետ է (0< <1), ապա զուգամետ է նաև շարք (3)-ը (տես. 1, դիտ. 2):

Երկրորդ կետի ապացույցԽմբագրել

Եթե  >1, ապա   ուրեմն    : Այստեղից հետևում է, որ   հաջորդականությունը մոնոտոն աճող է, և, ուրեմն՝  : Որտեղից հետևում է (3) շարքի տարամիտությունը։

Երրորդ կետի ապացույցԽմբագրել

Ցույց տալու համար, որ  =1 դեպքում ոչինչ պնդել հնարավոր չէ, կարելի է բերել հետևյալ օրինակները։

Օրինակ 1`

   :

Այս շարքը զուգամետ է, և պարզ է, որ  :

Օրինակ 2`

   :

Այս շարքը տարամետ է, բայց էլի՝  :

ԳրականությունԽմբագրել

  • Ա.Գ. Ղալումյան, Ա.Ս. Սարգսյան, «Մաթեմատիկական անալիզ», ԵՊՀ Հրատարակչություն, Երևան 2009։