Գծային հավասարումների համակարգ

Գծային հավասարումների համակարգ, հավասարումների համակարգ է, որոնցից յուրաքանչյուրը իրենից ներկայացնում է առաջին աստիճանի գծային հանրահաշվական հավասարում։

Երեք անհայտով գծային հավասարումների համակարգը որոշում է երեք հարթությունների միացությունը։Նրանց հատման կետը համակարգի լուծումն է հանդիսանում։

Դասական տարբերակում բոլոր գործակիցները, ազատ անդամները և անհայտները համարվում են բնական թվեր, բայց բոլոր ձևերն ու արդյունքները պահպանվում են ցանկացած դաշտերի համար օրինակ (կոմպլեքս թվերի)։

Գծային համակարգերի լուծումը գծային հանրահաշվի դասական խնդիրներից մեկն է, որը հիմնականում որոշում է նրա օբյեկտներն ու մեթոդները։ Գծային համակարգերի լուծումը կարևոր դեր է խաղում շատ թեքումային ուղղություններում, այդ թվում գծային ծրագրավորման մեջ։

ՍահմանումներԽմբագրել

Գծային հավասարումների համակարգի ընդհանուր տեսքը․

 

Որտեղ՝   — հավասարումների քանակն է,   —փոփոխականների քանակը,   — անհայտներն են, որ պիտի որոշել,   գործակիցներն են,  ազատ անդամները։ Գծային հավասարումների համակարգի գործակիցների ( ) ինդեկսները կազմվում են հետևյալ պայմանով՝ առաջինը ( ) հավասարման համարն է, երկրորդը ( ) — փոփոխականի համարն է, որից առաջ այն գտնվում է[1].

Համակարգը կոչվում են համասեռ, եթե նրա ազատ անդամները հավասար են զրոյի ( ), այլապես — ոչ համասեռ։

Գծային հավասարումների համակարգը կոչվում է քառակուսային , եթե հավասարումների քանակը հավասար է անհայտների քանակին ( ). Համակարգը, որի անհայտների թիվը ավելին է քան հավասարումներինը, կոչվում է ուղղանկյուն համակարգ։

Համակարգի լուծումների  թվերի   բազմությունը, որը հանդիսանում է համակարգի լուծում, փոփոխականներում տեղադրելու դեպքում հավասարումը վերածում է նույնության։

Համակարգը կոչվում է միասնական, եթե նա ունի գոնե մեկ լուծում, և ոչ միասնական, եթե նա չունի ոչ մի լուծում։

Մատրիցային ձևԽմբագրել

Համակարգը կարելի է ներկայացնել մատրիցի տեսքով․

 

կամ

 .

Այստեղ   -ն համակարգի մատրիցն է,   -ը անհայտների սյունակը, իսկ  -ն ազատ անդամների սյունակն է։ Եթե   մատրիցին աջից ավելացնել ազատ անդամների սյունակը, ապա ստացված մատրիցը կոչվում է ընդլայնված։

Գծային հավասարումների համարժեք համակարգերԽմբագրել

հավասարումների համակարգերը կոչվում են համարժեք, եթե նրանց լուծումները համընկնում են։ Լուծում չունեցող համակարգերը նույնպես համարժեք են։

Համակարգին համարժեք համակարգ կարելի է ստանալ, տրված համակարգի հավասարումներից մեկը բազմապատկենք կամ բաժանենք նույն թվի վրա։

  տեսքի հավասարումների համակարգը համարժեք է  ։

 
x − 2y = −1, 3x + 5y = 8, և 4x + 3y = 7 գծային հացասարումներ են, իսկ (1,1) կետը նրանց լուծումն է։

Լուծման ձևերըԽմբագրել

Ուղղակի մեթոդները տալիս են այնպիսի ալգորիթմ, որի օգնությամբ կարելի է գտնել համակարգերի ճշգրիտ լուծումները։

Որոշ ուղղակի մեթոդներ․

Կախված մոտեցումներից, մեթոդները բաժանվում են մի քանի տեսակի․

  • Մասնատման ձևով։  
  • Զանազանման ձևով։  
  • Պրոյեկցիոն ձևով ։  

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: Физматлит, 2004. — 280 с.
  2. Вержбицкий В. М. Основы численных методов. — М.: Высшая школа, 2009. — С. 80—84. — 840 с. — ISBN 9785060061239

Արտաքին հղումներԽմբագրել