Գծային հավասարումների համակարգ

Գծային հավասարումների համակարգ, հավասարումների համակարգ է, որոնցից յուրաքանչյուրը իրենից ներկայացնում է առաջին աստիճանի գծային հանրահաշվական հավասարում։

Երեք անհայտով գծային հավասարումների համակարգը որոշում է երեք հարթությունների միացությունը։Նրանց հատման կետը համակարգի լուծումն է հանդիսանում։

Դասական տարբերակում բոլոր գործակիցները, ազատ անդամները և անհայտները համարվում են բնական թվեր, բայց բոլոր ձևերն ու արդյունքները պահպանվում են ցանկացած դաշտերի համար օրինակ (կոմպլեքս թվերի)։

Գծային համակարգերի լուծումը գծային հանրահաշվի դասական խնդիրներից մեկն է, որը հիմնականում որոշում է նրա օբյեկտներն ու մեթոդները։ Գծային համակարգերի լուծումը կարևոր դեր է խաղում շատ թեքումային ուղղություններում, այդ թվում գծային ծրագրավորման մեջ։

Սահմանումներ

Գծային հավասարումների համակարգի ընդհանուր տեսքը․

${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\dots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}$

Որտեղ՝ $m$ — հավասարումների քանակն է, $n$ —փոփոխականների քանակը, $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ — անհայտներն են, որ պիտի որոշել, $a_{11},a_{12},\dots ,a_{mn}$ գործակիցներն են, $b_{1},b_{2},\dots ,b_{m}$ազատ անդամները։ Գծային հավասարումների համակարգի գործակիցների ($a_{ij}$) ինդեկսները կազմվում են հետևյալ պայմանով՝ առաջինը ($i$) հավասարման համարն է, երկրորդը ($j$) — փոփոխականի համարն է, որից առաջ այն գտնվում է.

Համակարգը կոչվում են համասեռ, եթե նրա ազատ անդամները հավասար են զրոյի ($b_{1}=b_{2}=\dots b_{m}=0$), այլապես — ոչ համասեռ։

Գծային հավասարումների համակարգը կոչվում է քառակուսային , եթե հավասարումների քանակը հավասար է անհայտների քանակին ($m=n$). Համակարգը, որի անհայտների թիվը ավելին է քան հավասարումներինը, կոչվում է ուղղանկյուն համակարգ։

Համակարգի լուծումների $c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}$թվերի $n$ բազմությունը, որը հանդիսանում է համակարգի լուծում,$x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$փոփոխականներում տեղադրելու դեպքում հավասարումը վերածում է նույնության։

Համակարգը կոչվում է միասնական, եթե նա ունի գոնե մեկ լուծում, և ոչ միասնական, եթե նա չունի ոչ մի լուծում։

Մատրիցային ձև

Համակարգը կարելի է ներկայացնել մատրիցի տեսքով․

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}$

կամ

$Ax=b$.

Այստեղ $A$ -ն համակարգի մատրիցն է, $x$ -ը անհայտների սյունակը, իսկ $b$-ն ազատ անդամների սյունակն է։ Եթե $A$ մատրիցին աջից ավելացնել ազատ անդամների սյունակը, ապա ստացված մատրիցը կոչվում է ընդլայնված։

Գծային հավասարումների համարժեք համակարգեր

հավասարումների համակարգերը կոչվում են համարժեք, եթե նրանց լուծումները համընկնում են։ Լուծում չունեցող համակարգերը նույնպես համարժեք են։

Համակարգին համարժեք համակարգ կարելի է ստանալ, տրված համակարգի հավասարումներից մեկը բազմապատկենք կամ բաժանենք նույն թվի վրա։

$A\mathbf {x} \ =\mathbf {b}$ տեսքի հավասարումների համակարգը համարժեք է $CA\mathbf {x} \ =C\mathbf {b}$։

x − 2y = −1, 3x + 5y = 8, և 4x + 3y = 7 գծային հացասարումներ են, իսկ (1,1) կետը նրանց լուծումն է։

Լուծման ձևերը

Ուղղակի մեթոդները տալիս են այնպիսի ալգորիթմ, որի օգնությամբ կարելի է գտնել համակարգերի ճշգրիտ լուծումները։

Որոշ ուղղակի մեթոդներ․

• Գաուսի մեթոդը
• Գաուս-Ջորդանի մեթոդներ
• Կրամերի մեթոդը
• Պտտման մեթոդ

Կախված մոտեցումներից, մեթոդները բաժանվում են մի քանի տեսակի․

• Մասնատման ձևով։ $(M-N)\mathbf {x} =\mathbf {b} \Leftrightarrow M\mathbf {x} =N\mathbf {x} +\mathbf {b} \Rightarrow M\mathbf {x} ^{n+1}=N\mathbf {x} ^{n}+\mathbf {b}$
• Զանազանման ձևով։ $A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow \|A\mathbf {x} -\mathbf {b} \|\rightarrow \min$
• Պրոյեկցիոն ձևով ։ $A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow (A\mathbf {x} ,\mathbf {m} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {m} )\forall \mathbf {m}$

Արտաքին հղումներ

• Куксенко С. П., Газизов Т. Р. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений с плотной матрицей. — Томск: Томский государственный университет, 2007. — 208 с. — ISBN 5-94621-226-5