Գլանաձև պարաբոլական կոորդինատական համակարգ

Գլանաձև պարաբոլական կոորդինատական համակարգ (պարաբոլական գլանի կոորդինատներ )

Գլանաձև պարաբոլական կոորդինատական համակարգի տեսքը:

$(u,\;v,\;z)$,  կոորդինատական համակարգ, որը հանդիսանում է դեկարտյան $z$` ապլիկատի ավելացումով պարաբոլական կոորդինատների ընդհանրացում։

Գոյություն ունի այդ կոորդինատների մի քանի կողմնորոշում։ Առավել տարածված է հետևյալ կողմնորոշման ձևը։

${\begin{cases}x={\dfrac {c}{2}}(u^{2}-v^{2}),\\y=cuv,\\z=z,\end{cases}}$

որտեղ $c>0$-ն չափային բազմապատկիչն է։

$u=\mathrm {const}$ և $v=\mathrm {const}$ մակարդակի մակերևույթը պարբոլական գլանի հիմքն է, որը ձևավորող բաղադրիչները զոոգահեռ են $z$ առանցքին։

Կապը այլ կոորդինատական համակարգերի հետ

Ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգ՝ $(x,\;y,\;z)$

${\begin{cases}x={\dfrac {c}{2}}(u^{2}-v^{2}),\\y=cuv,\\z=z,\end{cases}}$

Գլանային կոորդինատական համակարգ՝ $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$

${\begin{cases}\rho ={\dfrac {c}{2}}(u^{2}+v^{2}),\\\varphi =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {2uv}{u^{2}-v^{2}}}\right),\\z=z.\end{cases}}$

Լամեի գործակից

Լամեի գործակիցը տվյալ կոորդինատական համակարգում ունի հետևյալ տեսքը՝

${\begin{cases}H_{u}=c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}},\\H_{v}=c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}},\\H_{z}=1.\end{cases}}$

Հիմնական դիֆերենցիալ օպերատորների արտահայտությունները

Գրադիենտ

$\mathrm {grad} \,F(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left({\frac {\partial F}{\partial u}}{\vec {e}}_{u}+{\frac {\partial F}{\partial v}}{\vec {e}}_{v}\right)+{\frac {\partial F}{\partial z}}{\vec {e}}_{z}.$

Դիվերգենցիա

$\mathrm {div} {\vec {A}}(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u}\right)+{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v}\right)\right]+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}.$

Ռոտոր

$\mathrm {rot} \,{\vec {A}}={\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial v}}A_{z}-{\frac {\partial }{\partial z}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v})\right]{\vec {e}}_{u}+{\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial z}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u})-{\frac {\partial }{\partial u}}A_{z}\right]{\vec {e}}_{v}+$

$+{\frac {1}{c(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v})-{\frac {\partial }{\partial v}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u})\right]{\vec {e}}_{z}.$

Լապլասիան

$\Delta F(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}}}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}.$

Տես նաև

• Ուղղանկյուն (Դեկարտյան) կոորդինատական համակարգ

Արտաքին հղումներ

• Weisstein, Eric W., "Parabolic Cylindrical Coordinates", MathWorld.