Ազատ մասնիկ

Ազատ մասնիկ, տերմին ֆիզիկայում, այն մասնիկներն են, որոնք չեն փոխազդում այլ մարմինների հետ և ունեն միայն կինետիկ էներգիա։ Ազատ մասնիկների ամբողջությունը կազմում է իդեալական գազ։

Չնայած սահմանման պարզությանը, ֆիզիկայում ազատ մասնիկ հասկացությունը շատ կարևոր դեր է խաղում, քանի որ շարժման հավասարումը առաջին հերթին պետք է բավարարի ազատ մասնիկներին։

Դասական մեխանիկա

Դասական մեխանիկայում ազատ մասնիկը պահպանում է իր արագությունը, համապատասխանաբար պահպանելով նաև իմպուլսը։ Ազատ մասնիկի կինետիկ էներգիան որոշվում է հետևյալ բանաձևերերով․

$E=T={\frac {mv^{2}}{2}}$, որտեղ m-ն ազատ մասնիկի զանգված, ոչ հարաբերական մեխանիկայում։

• $E=T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}$, որտեղ с-ն լույսի արագությունն է, հարաբերական մեխանիկայի դեպքում։

Ոչ հարաբերական քվանտային մեխանիկա

Քվանտային մասնիկները նկարագրված են Շրոյդինգերի հավասարումում։

$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi$

Այս հավասարման լուծումները տրվում են ալիքային ֆունկցիաների սուպերդիրքով, որոնք ունեն հետևյալ տեսքը․

$\psi _{\mathbf {k} }=A_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -itE/\hbar }$,

որտեղ

$E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$,

$A_{\mathbf {k} }$ - կամայական կոմպլեքս թիվ։

$\mathbf {k}$ ալիքային վեկտորը ազատ քվանտային մեխանիկական մասնիկի միակ քվանտային թիվն է։

Ազատ քվանտային մասնիկը կարող է գտնվել խիստ սահմանված ալիքային վեկտորի վիճակում։ Այնուհետև նրա իմպուլսը նույնպես խիստ որոշյալ է և հավասար է $\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k}$. Այս դեպքում մասնիկի էներգիան նույնպես որոշակի է և հավասար է E-ին։ Այնուամենայնիվ, քվանտային մասնիկը կարող է լինել նաև խառը վիճակում, որում ոչ իմպուլսն է որոշված, և ոչ էլ էներգիան։

Ազատ մասնիկը կորագիծ կոորդինատային համակարգում

Ազատ մասնիկի համիլտոնյան որոշվում է

$H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta$

Համամասնական է Լապլասի հավասարմանը, որը կորագիծ կոորդինատներում ունի հետևյալ տեսքը․

$\Delta ={\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)$

Այս պարագայում ազատ մասնիկի համիլտոնյան կորագիծ կոորդինատային համակարգում կունենա հետևյալ տեսքը․

$H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)$

Դասական Համիլտոնի ֆունկցիան ունի այս տեսքը․

$H_{c}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\frac {1}{2m}}g^{ik}(\mathbf {q} )p_{i}p_{k}$

Այս դեպքում առաջանում է ոչ տրիվիալ խնդիր, որը կարող է լուծվել միայն տեղային մակարդակում։

$H(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )={\frac {1}{2m}}\left(g^{ik}(\mathbf {Q} )P_{i}P_{k}+i\hbar g^{is}(\mathbf {Q} )\Gamma _{is}^{k}(\mathbf {Q} )P_{k}\right)$

Հարաբերական քվանտային մասնիկ

Հարաբերական քվանտային մասնիկները նկարագրվում են շարժման տարբեր հավասարումներով՝ կախված մասնիկի տեսակից։ Էլեկտրոնների և միևնույն ժամանակ նրանց հակամասնիկների՝ պոզիտրոնների համար գործում է Դիրակի հավասարումը։ Որոշակի իմպուլս ունեցող վիճակում p մասնիկի էներգիան հավասար է․

$E=\pm c{\sqrt {m^{2}c^{2}+p^{2}}}$,

Որտեղ "+" նշանը համապատասխանում է էլեկտրոնին, իսկ "-" նշանը՝ պոզիտրոնին։ Հարաբերական էլեկտրոնի համար հայտնվում է նաև լրացուցիչ քվանտային թիվ՝ սպին։

Մյուս մասնիկները նկարագրվում են իրենց առանձնահատուկ հավասարումներով, օրինակ՝ առանց սպին մասնիկը նկարագրվում է Կլայն-Գորդոնի հավասարմամբ։

Գրականություն

• Флюгге З. Задачи по квантовой механике / Перевод с английского под редакцией А.А. Соколова. — М.: Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1. — 344 с.
• Тахтаджян Л.А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С.А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0