Ուռուցիկ բազմություն

Ուռուցիկ բազմություն, բազմություն աֆֆինիում կամ վեկտորական տարածությունում, որի մեջ գտնվող երկու կետերից կազմված հատվածի բոլոր կետերը նույնպես պատկանում են տվյալ բազմությանը։

Ուռուցիկ բազմություն

Ոչ ուռուցիկ բազմություն

Սահմանումներ

Դիցուք՝ $A$ աֆֆինիումը կամ վեկտորական տարածությունը գտնվում է վերը նշված իրական թվերի $\mathbb {R}$ բազմությունում։

$K\subset A$ բազմությունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե դրա հետ ցանկացած երկու $x,\;y\in K$ կետերում $K$ բազմությունը ներառում է հատվածի բոլոր $xy$ կետերը՝ $A$ բազմությանը միացնող $x$ և $y$ կետերով։ Այս հատվածը կարելի է ներկայացնել որպես

$\bigcup \limits _{t\in [0;\;1]}\{x+t\cdot {\overrightarrow {xy}}\}.$

Առնչվող սահմանումներ

Սահմանված $K$ վեկտորական տարածության $V$-ն անվանում ենք բացարձակ ուռուցիկ, եթե այն ուռուցիկ և հավասարակշռված է։

Օրինակներ

• $\mathbb {R}$ բազմության ուռուցիկ ենթաբազմությունները (շատ իրական թվեր) $\mathbb {R}$-ի միջակայքերն են։
• Երկչափ էվկլիդյան տարածքում ուռուցիկ ենթաբազմությունների օրինակներ են ($\mathbb {R} ^{2}$) կանոնավոր բազմանկյունները։
• Եռաչափ էվկլիդային տարածության մեջ ուռուցիկ ենթաբազմությունների ($\mathbb {R} ^{3}$) օրինակներ են մարմնի արքիմեդները և կանոնավոր բազմանիստները։
• Թելա Կեպլերի՝ Պուանսոյի մարմինները (կանոնավոր աստղային բազմանկյունները) ոչ ուռուցիկ բազմությունների օրինակներ են։

Հատկություններ

• Ուռուցիկ բազմությունը տոպոլոգիական գծային տարածության մեջ կապակցված կամ գծային կապակցվածություն ունեցող հոմոտոպիկ համարժեք կետ է։
• Կապակցման առումով ուռուցիկ բազմությունը կարող է սահմանվել հետևյալ կերպ. բազմությունը ուռուցիկ է, եթե նրա հատման կետը միացված է որևէ (իրական) գծի հետ։
• Դիցուք՝ $K$ ուռուցիկ բազմությունը գծային տարածության մեջ է։ Ապա $K$ բազմությանն են պատկանում ցանկացած $u_{1},\;u_{2},\;\ldots ,\;u_{r}$ տարրերը և բոլոր ոչ բացասական $\lambda _{1},\;\lambda _{2},\;\ldots ,\;\lambda _{r}$ կետերը, այնպես որ $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\ldots +\lambda _{r}=1$, վեկտորը

  $w=\sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}$

պատկանի $K$ բազմությանը

• Վեկտոր $w$-ն կոչվում է տարրերի ուռուցիկ համադրություն՝ $u_{1},\;u_{2},\;\ldots ,\;u_{r}$։

• Ուռուցիկ խմբերի ցանկացած շարքի հատումից առաջանում է ուռուցիկ բազմություն՝ ուռուցիկ ենթաբազմություններից ձևավորվելով ամբողջական ցանց։ Դրանից հետևում է, որ ցանկացած $A$ գծային տարածության ենթաբազմությունում է ամենափոքր ուռուցիկ բազմությունը։ Այս բազմությունն $A$-ն պարունակող բոլոր ուռուցիկ բազմությունների հատման կետն է և կոչվում է $A$-ի ուռուցիկ բազմություն։
  • Փակ ուռուցիկ բազմությունները կարող են սահմանվել որպես փակ կիսատարածությունների հատման կետեր (հիպերհարթության միայն մի մասում ընկած տարածության բազմաթիվ կետեր)։ Վերը նշվածից պարզ է դառնում, որ նման հատման կետերը ուռուցիկ և փակ բազմություններ են։ Ապացուցելու համար, որ յուրաքանչյուր ուռուցիկ բազմություն կարող է հատման կետ լինել, կարելի է օգտագործել օժանդակ հիպերհարթության թեորեմը, որը ֆունկցիոնալ վերլուծության Հանա-Բանախի թեորեմայի մասնավոր դեպքն է։
• Հելլի թեորեմ։ Ենթադրենք, որ $\mathbb {R} ^{d}$ ուռուցիկ ենթաբազմությունների վերջնական խմբում ցանկացած $d+1$ հատման կետ ոչ դատարկ է։ Այդ դեպքում հատման կետերում այս խմբի բոլոր ենթաբազմությունները ոչ դատարկ են։
• $\mathbb {R} ^{2}$-ում միավոր մակերեսի ցանկացած ուռուցիկ բազմություն կարելի է դնել 2 մակերեսի եռանկյան մեջ։

Տատանումներ և ընդհանրացումներ

• Առանց որևէ փոփոխության սահմանումը աշխատում է աֆֆինինի տարածությունների`իրական թվերի դաշտի կամայական ընդլայնման վրա։

Գրականություն

• Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
• Тиморин В. А. Комбинаторика выпуклых многогранников. — М.: МЦНМО, 2002. — 16 с. — ISBN 5-94057-024-0։

Արտաքին հղումներ

• Ուռուցիկ բազմությունների լեկցիա, Նիլ Լաուրթզենի նշումները, Աարհուս համալսարան, 2010 թվականի մարտ