«Գծային արտապատկերում»–ի խմբագրումների տարբերություն

 

Գծային արտապատկերումը, ի տարբերություն ոչ գծայինի, բավականին լավ ուսումնասիրված է, ինչը հնարավորություն է տալիս այն հաջողությամբ կիրառել ընդհանուր տեսության վրա, քանի որ նրանց հատկությունները կախված չեն մեծություններից:

ցանկացած <math>x,y\in V</math> և <math>\alpha\in K</math>։

 

 

Եթե կատարվում է միայն առաջին հատկությունը, այդ դեպքում նման արտապատկերումը կոչվում է [[ադդիտիվ արտապատկերում|ադդիտիվ]]։

<math>\|A\|=\sup_{\|x\|\not =0} \frac {\|Ax\|}{\|x\|}=\sup_{\|x\| =1} {\|Ax\|}:</math>

 

 

=== Հակադարձ օպերատոր ===

 

<math>A^{-1}</math> օպերատորը, որը հակադարձ է <math>A</math> գծային օպերատորին, նույնպես հանդիսանում է գծային օպերատոր։ Եթե <math>A</math> -ն գծային անընդհատ օպերատոր է, որն արտապատկերում է մի բանախովյան տարածությունը (կամ <math>F</math>-տարածություն) մյուսին, ապա հակադարձ օպերատորը նույնպես հանդիսանում է անընդհատ գծային օպերատոր։

'''Գծային արտապատկերման մատրիցա''' – մատրիցա, որն արտահայտում է գծային արտապատկերում ինչ-որ բազիսում։ Որպեսզի այն ստանանք, անհրաժեշտ է ներազդել արտապատկերմամբ վեկտորների բազիսի վրա և ստացված վեկտորների (բազիսային վեկտորների պատկերներ) կոորդինատները գրել մատրիցայի սյուներում։

 

 

Ընտրենք <math>\mathbf{e}_k</math> բազիսը։ Դիցուք <math>\mathbf{x}</math>-ը կամայական վեկտոր է։ Այն կարելի է ներկայացնել հետևյալ բազիսով՝

: <math>\mathbf{x} = x^k\mathbf{e}_k</math>,

որտեղ <math>x^k</math>-ն <math>\mathbf{x}</math> վեկտորի կոորդինատն է նշված բազիսում։

Դիցուք <math>\mathbf{A}</math>-ն ցանկացած գծային արտապատկերում է։ Ներազդելով նախորդ հավասարման վրա երկու կողմերից, կստանանք՝

: <math>\mathbf{Ax} = x^k\mathbf{Ae}_k</math>։

*:Գծային արտապատկերման պատկերը ձևավորում է ենթատարածություն <math>W</math> գծային տարածությունում։

* <math>M\subset V</math> <ref>M-ը կարող է չլինել ենթատարածություն։</ref> ենթաբազմության պատկեր <math>A</math> գծային փոխակերպուման նկատմամբ կոչվում է <math>AM=\{Ax: x\in M\}</math> բազմությունը։

* <math>\tilde L</math> օպերատորը կոչվում է ''գծային տարասեռ'' (կամ ''աֆինացված''), եթե այն ունի այսպիսի տեսք՝

*: <math>\tilde L = L + v</math>

: որտեղ <math>L</math> գծային օպերատոր է, իսկ <math>v</math>-ն՝ վեկտոր։

* '''Ֆակտոր-օպերատորներ'''<ref>Օգտագործվում է նաև '''ֆակտորօպերատորներ''' գրառումը։</ref>։ Դիցուկ <math>A:V\to V</math>-ը գծային օպերատոր է և դիցուկ <math>M</math>-ը ինչ-որ ինվարիանտ է այդ ենթաբազմության օպերատորի նկատմամբ։ Ձևավորենք [[Ֆակտոտարածություն ըստ ենթատարածության|ֆակտոտարածություն]] <math>V/\,\overset{M}{\sim}</math> ըստ <math>M</math> ենթատարածության։ Այդ դեպքում '''ֆակտոր-օպերատորը''' կոչվում է <math>A^+</math> օպերատորը, որը կիրառվում է <math>V/\,\overset{M}{\sim}</math>-ի վրա <math>\forall x^+\in V/\,\overset{M}{\sim}, A^+ x^+=[Ax]</math> կանոնով, որտեղ <math>[Ax]</math>-ը ֆակտոտարածության դասից է և պարունակում է <math>Ax</math>-ը։

 

== Օրինակներ ==