«Դիֆերենցիալ հավասարումներ»–ի խմբագրումների տարբերություն

Առաջին կարգի սկզբնական խնդիրների համար, Պիանոյի գոյության թեորեմը տալիս է պայմանների բազմությունը, երբ լուծում գոյություն ունի։ xy հարթության յուրաքանչյուր կետի համար {\displaystyle (a,b)}<math>(a,b)</math> կետի համար, սահմանեք որոշ ուղղանկյուն մակերես {\displaystyle Z}<math>Z</math>, այնպիսին, որ {\displaystyle<math>Z Z=[l,m]\times [n,p]}Z=[l,m]\times [n,p]</math> և {\displaystyleand <math>(a,b)}(a,b)</math> ընդգրկվածis էin {\displaystylethe interior of <math>Z}Z-ի մեջ։</math>. If we are given a differential equation {\displaystyle {<math>\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}} =g(x,y)}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=g(x,y)</math> and the condition that {\displaystyle y=b}<math>y=b</math> when {\displaystyle x=a}<math>x=a</math>, then there is locally a solution to this problem if {\displaystyle g(x,y)}<math>g(x,y)</math> and {\displaystyle {<math>\frac {\partial g}{\partial x}}}{\frac {\partial g}{\partial x}}</math> are both continuous on {\displaystyle Z}<math>Z</math>. This solution exists on some interval with its center at {\displaystyle a}<math>a</math>. The solution may not be unique. (See [[Ordinary differential equation]] for other results.)

However, this only helps us with first order [[initial value problemsproblem]]s. Suppose we had a linear initial value problem of the nth order:

{\displaystyle f_{n}(x){\frac {\mathrm {d} ^{n} y}{\mathrm {d} x^{n}}} + \cdots + f_{1}(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+f_{0}(x)y=g(x)}f_{n}(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}+\cdots +f_{10}(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d}= x}}+f_{0}(x)y=g(x)