«Պի (տառ)»–ի խմբագրումների տարբերություն
Content deleted Content added
No edit summary |
|||
Տող 13.
*[[Եբրայական այբուբեն|Եբրայական`]] '''פּ'''
== Նշանակումները ==
[[Պատկեր:Pi-unrolled-720.gif]]
Մեծ Π տառով՝
* [[Մաթեմատիկա]]յում <math>\textstyle\prod</math>-ով արտահայտվում է արտադրիչների արտադրյալը, այնպես, ինչպես <math>\textstyle\sum</math>-ով՝ գումարը։
Տող 21.
* <math>\pi(x)</math> ֆունկցիան <math>x</math>-ին չգերազանցող պարզ թվերի քանակն է։.
* պի-մեզոն տարրական մասնիկը
π թվի հաշվարկման համար շատ մանաձևեր կան
=== հարաբերություններ ===
Հայտնի են <math>\pi</math> թվի կիրառման շատ տարբերակներ՝
* Վիետի ֆորմուլան π թվի համար՝
:: <math>\frac2\pi=
\frac{\sqrt{2}}2\cdot
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots</math>
: pi թվի կիրառմումը գործողությունների մեջ՝ <math>\sin(2\cdot\theta)=2\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta</math>, որի արդյունքում ստացվում է՝
:: <math>\phi\cdot \cos\tfrac\phi2\cdot\cos\tfrac\phi4\cdots = \sin \phi</math>
:մնում է ավելացնել <math>\phi=\tfrac\pi2</math>ր և կիրառել կրկնակի կոսինուսի բանաձևը՝
* [[Վալիսի բանաձև]]:
:: <math>\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}</math>
* [[Լայբնիցի շարք]]՝
:: <math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}</math>
* այլ շարքեր՝
:: <math>\begin{align}
\pi &= \tfrac12\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} + \tfrac4{8k+4} - \tfrac1{8k+7}\right)
\\ &= \tfrac14\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+1} + \tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} - \tfrac2{8k+5} - \tfrac2{8k+6} - \tfrac1{8k+7}\right)
\\ &= \;\;\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac{(-1)^k}{4^k}\left(\tfrac2{4k+1} + \tfrac2{4k+2} + \tfrac1{4k+3}\right)
\end{align}</math>
:: <math> \pi=2 \sqrt{3} \sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\, 3^k \, (2k+1)}</math>
* բազմակի շարքեր՝
:: <math>\pi=8\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(4m-2)^{2k}}=4\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{m^2-k^2}{(m^2+k^2)^2}=\sqrt[4\,\,]{360 \sum \limits_{k=1}^{\infty}\sum \limits_{m=1}^k\frac{1}{m(k+1)^3}}</math>
* [[սահմաններ(մաթեմատիկա)|Սահմաններ]]՝
:: <math>\pi=\lim \limits_{m\rightarrow \infty }{\frac { (m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[ (2m )! \right] ^{2}\,m}}</math>
:: <math>\pi= \sqrt{\frac{6}{\lim \limits_{n\to\infty}\prod \limits_{k=1 \atop p_k \in \mathbf{P}}^{n}\,\left ( 1-\frac{1}{p_{k}^2}\right ) }}\quad \to </math> здесь <math> p_k </math> — простые числа
:: <math>\pi=\lim_{n\to\infty} 2^n\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}}</math>, որտեղ <math>n</math> հավասար է արտահայտության արմատին<ref>{{статья |автор= [[Ромер, Павел Эмилиевич|Ромер П.]]|заглавие= Новое выражение для π|ссылка= http://vofem.ru/ru/articles/9702/|язык= ru|издание= [[В.О.Ф.Э.М.]]|год= 1890|номер= 97|страницы= 2—4}}</ref>:
* [[Էյլեր (համընդհանուր անալիզ)]]՝
:: <math>e^{i \pi} + 1 = 0\;</math>
* [[Հաստատուն]] մեծությունների այլ կապերի՝
:: <math>\frac{\pi}{e}=2 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left (\frac{2k+1}{2k-1} \right )^{2k-1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k} </math>
:: <math>\pi \cdot e = 6 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left ( \frac{2k+3}{2k+1}\right )^{2k+1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}</math>
* [[Պուասոն]]ի ինտեգրալ կամ [[Գաուս]]ի ինտեգրալ՝
:: <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}</math>
:: <math>\int\limits_{0}^{\infty} \frac{Br(x)}{\displaystyle e^{Br^4(x)}}dx=\sqrt{\pi},</math>, որտեղ <math>Br(x)</math> — [[Բրինգի արմատ]]ն է:
* [[Ինտեգրալային սինուս]]`
:: <math>\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\sin x}{x}dx}=\pi </math>
* Արտահայտություն երկխոսության միջոցով<ref>{{MathWorld|PiSquared|Pi Squared}}</ref>`
:: <math>\pi=\sqrt{6\ln^2 2+12\ \operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)}</math>
* անկախ ինտեգրալով՝
:: <math>\int\limits_{0}^{+\infty}{\frac{dx}{(x+1)\sqrt x}}=\pi</math>
== Տես նաև ==
| |||