«Ռիմանի երկրաչափություն»–ի խմբագրումների տարբերություն
Content deleted Content added
չ վերջակետների ուղղում, փոխարինվեց: ն: → ն։ (2) oգտվելով ԱՎԲ |
չ փոխարինվեց: ` → ՝ (15) oգտվելով ԱՎԲ |
||
Տող 2.
[[Պատկեր:Polardreieck1.svg|մինի|աջից|250px|Հնարավոր եռանկյուն Ռիմանի երկրաչափությունում]]
[[Պատկեր:Triangles (spherical geometry).jpg|thumb|250px|Գնդի վրա գտնվող եռանկյան անկյունների գումարը հավասար չէ 180°: Գնդի մակերևույթը Էվկլիդեսյան մակերևույթ չէ, սակայն Էվկլիդեսյան երկրաչափությունը այս մակերևույթի համար կարելի է համարել մոտավորություն։ Երկրի մակերևույթի վրա փոքր եռանկյան անկյունների գումարը մոտավորապես հավասար է 180°:]]
'''[[Բեռնարդ Ռիման|Ռիմանի]] երկրաչափություն''' ('''Էլիպտիկ երկրաչափություն'''), երեք «մեծագույն երկրաչափություններից» մեկը ([[Էվկլիդեսյան երկրաչափություն|Էվկլիդեսյան]], [[Լոբաչևսկու երկրաչափություն|Լոբաչևսկու]] և Ռիմանի)։ Եթե Էվկլիդեսյան երկրաչափությունը կառուցված է այնպիսի մակերևույթների վրա, որոնք ունեն հաստատուն զրո Գաուսյան կորություն, Լոբաչսկու
== Ընդհանուր գաղափարներ ==
Ռիմանի երկրաչափության մեջ ուղիղը որոշվում է երկու կետերով,
<math>\,\Sigma = \pi + {S}/{R^2},</math>
որտեղ <math>\,\Sigma</math>` եռանկյան անկյունների գումարն է, իսկ <math>\,R</math>` այն գնդի շառավիղը, որի վրա գործում է երկրաչափությունը։
Ռիմանի երկրաչափությունը ընդհանուր առմամբ նման է [[գնդային երկրաչափություն|գնդային երկրաչափությանը]], սակայն վերջինիս մեջ երկու ուղիղներ ունեն երկու, իսկ Ռիմանի երկրաչափության
Դիտարկենք <math>\,E</math> եռաչափ տարածությունում <math>\,O</math> կենտրոնով <math>\,S</math> գունդ։ Յուրաքանչյուր կետ, որը գտնվում է գնդի վրա (<math>A \in S</math>), գնդի <math>\,O</math> կենտրոնի հետ որոշում է ուղիղ (<math>l \subset E</math>), այսինքն, պրոյեկտիվ <math>\,\Pi</math> հարթության որոշակի <math>\,A_*</math> կետ։ <math>A \to A_*</math> համադրությունը որոշում է <math>S \to \Pi</math> արտապատկերումը։ <math>\,S</math>-ի մեծ շրջանները (գնդային երկրաչափության մեջ ուղիղներ) անցնում են պրոյեկտիվ <math>\,\Pi</math> հարթության ուղիղների, ընդ
Ռիմանի երկրաչափությունը չի հանդիսանում բացարձակ երկրաչափություն։ Ռիմանի երկրաչափության մեջ գոյություն չունի նման գաղափար, որ ''C'' կետը գտնվում է ''A'' և ''B'' կետերի միջև, որն էլ հենց բացարձակ երկրաչափության գլխավոր պայմաններից մեկն է։
==Էլիպտիկ տարածություն==
Եռաչափ էլիպտիկ երկրաչափությունը օգտագործում է 3-գունդ {{math|S<sup>3</sup>}}, և այդ կետերը հասանելի են քուատերնիոնների տեսությունում վերսորների օգնությամբ։
Վերսորն իրենից ներկայացնում է առաջին կարգի քուատերնիոն, որը պետք է ունենա հետևյալ
:<math>e^{ar} = \cos a + r \sin a , \quad r^2 = -1.</math>
Սկիզբը տրվում է {{math|1=''a'' = 0}} դեպքում և կազմում է վերսորներից բաղկացած տոպոլոգիական շարք։ Տրված <math>r</math>-ի համար,
:<math>e^{ar}, \quad 0 \le a < \pi,</math>
կազմում են ''էլիպտիկ գիծ''։ Ինքնակամ ''<math>u</math>'' վերսորի համար հեռավորությունը կլինի այն θ-ն, որի դեպքում {{math|1=cos θ = (''u'' + ''u''<sup>∗</sup>)/2}}, քանի որ այս բանաձևն իրենից ներկայացնում է քուատերնիոնի սկալյար մասը։
''Էլիպտիկ շարժումը'' նկարագրվում է քուատերնիոնի
:<math>q \mapsto u q v,</math>
որտեղ <math>u</math>-ն և <math>v</math>-ն կոնկրետ վերսորներ են։ Կետերի միջև հեռավորությունները նույնն են, ինչ էլիպտիկ շարժման հայելային կետերի միջև հեռավորությունները։ Այն դեպքում, երբ <math>u</math>-ն և <math>v</math>-ն հանդիսանում են զուգորդված քուատերնիոններ, շարժումը վերածվում է տարածական պտույտի, և նրանց վեկտորային մասը հանդիսանում է պտտման առանցք։ Այն դեպքում, երբ u = 1, էլիպտիկ շարժումը կոչվում է աջակողմյան Քլիֆորդի տեղափոխություն։ Իսկ եթե v = 1, ապա շարժումը կոչվում է ձախակողմյան Քլիֆորդի տեղափոխություն։
<math>u</math> վերսորով անցնող ''էլիպտիկ գծերը'' կարող են լինել հետևյալ
:<math>\lbrace u e^{ar} : 0 \le a < \pi \rbrace</math> կամ <math>\lbrace e^{ar}u : 0 \le a < \pi \rbrace</math>` ֆիքսված <math>r</math> -ի դեպքում։
Նրանք
Էլիպտիկ տարածությունն ունի հատուկ ձևեր ու կառուցվածքներ, որոնք կոչվում են Քլիֆորդյան զուգահեռներ և մակերևույթներ։
| |||