«Քվատերնիոններ»–ի խմբագրումների տարբերություն
Content deleted Content added
չ փոխարինվեց: 5թ → 5 թ (2) oգտվելով ԱՎԲ |
չ փոխարինվեց: ` → ՝ (9) oգտվելով ԱՎԲ |
||
Տող 6.
1835 թ-ին 30 տարեկանում Համիլտոնը գիտակցեց, որ կոմպլեքս թվերը կարելի է ներկայացնել որպես իրական թվերի մի զույգ՝ (x,y)։ Ոգևորված <math>\mathbb{C}</math>-ի և երկչափ երկրաչափության կապով նա փորձում էր եռաչափ տարածությունը նկարագրող մի ավելի մեծ հանրահաշիվ կառուցել։ [[Պատկեր:William_Rowan_Hamilton_Plaque_-_geograph.org.uk_-_347941.jpg|thumb|right|alt=Բրուգհեմի կամրջի հուշատախտակը.|Բրուգհեմի կամրջի հուշատախտակը]]Հետագայում նա գրում էր իր որդուն. «Վերը նշված ամսվա ամեն առավոտյան, երբ ես իջնում էի նախաճաշելու, քո կրտսեր եղբայրը` Վիլյամ Էդվինն ու դու ինձ հարցնում էիք. ՛Հայրիկ, դու սովորե՞լ ես բազմապատկել տրիպլետները։՛ Դրան ես ստիպված էի գլուխս տխուր թափահարելով պատասխանել. ՛Ոչ, ես դրանք միայն գումարել և հանել եմ կարողանում։՛»
Վերջապես, 1943 թ-ի հոկտեմբերի 16-ին, կնոջ հետ Դուբլինում [[Թագավորական Ջրանցք]]-ի կողքով դեպի Իրլանդական Թագավորական Ակադեմիայում հանդիպման քայլելիս նա կատարեց իր հայտնագործությունը: «Կարելի է ասել, ես զգացի, որ մտքերիս գալվանական շղթան փակվեց. և այդ փակումից աջառացած կայծերը {{math|<var>i,j</var>}} և {{math|<var>k</var>}}-ի միջև ֆունդամենտալ հավասարումներն էին»: Եվ մաթեմատիկական վանդալիզմի հայտնի ակտում Համիլտոնը Բրուգհեմի կամրջի քարի վրա փորագրում է հայտնի
<math display="block">i^2=j^2=k^2=ijk=-1\qquad (1)</math>
Տող 16.
<math display="block">q = t + \mathbf{i} x + \mathbf{j} y + \mathbf{k} z, \quad \mathbf{x,y,z,t} \in \mathbb{R},</math>
տեսքի կամայական տարր, որտեղ <math>(1,\mathbf{i,j,k})</math> բազիսային էլէեմենտները ասոցատիվ են և բավարարում են (1) առընչություններին։ Քվատերնիոնային հանրահաշիվն օժտված է նաև [[*-գործողությամբ]], որը սահմանվում է հետևյալ
<math display="block">q^* = t - \mathbf{i} x - \mathbf{j} y - \mathbf{k} z: \qquad (2)</math>
Տող 25.
==== Արտադրյալ ====
Ձախից և աջից (1) առընչությունները բազմապատկելով <math>\mathbf{i,j,k}</math>-ով կստանանք համարժեք
<math display="block"> \mathbf{ij} =\mathbf{k}, \mathbf{ki} = \mathbf{j}</math> և ցիկլիլ տեղափոխություններ։ Այս առընչությունները կարելի է
ընդհանրացնել մեկ
[[Պատկեր:Quaternion arm.png|frameless|center]]
Ժամսլաքի ուղղությամբ շարժվելիս, կամայական երկու էլեմենտների արտադրյալը հավասար է երրորդին։ Ժամսլաքին հակառակ ուղղությամբ շարժվելիս, արտադրյալը ձեռք է բերում «-» նշանը։
Տող 33.
====Նորմ====
Քվատերնիոնային նորմը սահմանվում հետևյալ
<math display="block">\left \Vert \mathbf{q}\right\| = \sqrt{{\mathbf{qq}*}}=\sqrt{t^2+x^2 +y^2+z^2}</math>
Հեշտ է ստուգել, որ քվատերնիոնները նորմավորված հանրահաշիվ
<math display="block">\left\Vert\mathbf{q}_1\mathbf{q}_2 \right \| = \left\Vert \mathbf{q}_1\right\| \left\Vert \mathbf{q}_2\right\|</math>
==== Թենզորային ներկայացում ====
Նշանակենք <math>\mathbf{e}_1 = \mathbf{i}, \mathbf{e}_2 = \mathbf{j}, \mathbf{e}_3 = \mathbf{k}</math>: Այս նշանակման միջոցով քվատերնիոնների արտադրյալը կարելի է գրել ավելի կոմպակտ
<math display="block">\mathbf{e}_a \mathbf{e}_b = -\delta_{ab} + \sum\limits_{c=1}^3 \varepsilon_{abc}\mathbf{e}_c,\qquad a,b,c = 1,2,3,\qquad(3)</math>
որտեղ <math>\delta_{ab}</math> -ն [[Քրոնեկերի սիմվոլ]]ն է, իսկ <math>\varepsilon_{abc}</math>-
====Քլիֆորդի հանրհահաշիվ====
Հաշվի առնելով (3) առընչությունը կարող ենք
<math display="block">\mathbf{e}_a \mathbf{e}_b + \mathbf{e}_b \mathbf{e}_a \equiv \left\{\mathbf{e}_a \mathbf{e}_b\right\} = -2\delta_{ab}</math>
| |||