Պուասոնի ինտեգրալ

Պուասոնի ինտեգրալ, մաթեմատիկական ինտեգրալ հավասարում։ Բանաձևային տեսքը`

$I=\int exp(-x^{2})dx$ :

Պուասոնի ինտեգրալի իմաստն այն է, որ ինտեգրման միջակայքը անվերջ թվային առանցքն է։ Արգումենտի մեծ արժեքների դեպքում էքսպոնենտի արագ ձգումը զրոյի ապահովում է ինտեգրալի վերջավոր լինելը, չնայած ինտեգրման միջակայքի անվերջությանը։

Այն հավասար է ${\sqrt {\pi }}$:

Ապացույց

${\begin{cases}{\displaystyle I=\int exp(-x^{2})dx}\\{\displaystyle I=\int exp(-y^{2})dy}\end{cases}}$ (1)

(1) հավասարումները ճիշտ են քանի որ որոշյալ ինտեգրալը կախված չէ ինտեգրման փոփոխականից։

Բազմապատկելով այս երկու ինտեգրալները, կստացվի՝

$I\cdot I=I^{2}=\iint exp(-(x^{2}+y^{2}))dxdy$ (2)

Դիտարկելով x-ն ու y-ն որպես կոորդինատական առանցքներ, կրկնակի ինտեգրալը կունենա անվերջ հարթությամբ ինտեգրման իմաստ և կարելի է հաշվել հարթության վրա այն կոորդինատային համակարգում, որը հարմար է տվյալ դեպքում։ Քանի որ էքսպոնենտի ցուցիչում գրված է բևեռային շառավղի արտահայտությունը բևեռային կոորդինատային համակարգում։

Գաուսյան ինտեգրալի հաշվման հեղինակ Սիմեոն Պուասոնը:

Անցնելով բևեռային համակարգի, (2) արտահայատությունը կգրվի հետևյալ կերպ՝

$I^{2}=\textstyle \int _{0}^{+\infty }\displaystyle \textstyle \int _{0}^{2\pi }\displaystyle exp(-(r^{2}))rdrd\varphi$ (3)

Այստեղ առաջին հերթին փոխարինվել է կոորդինատային համակարգի $x^{2}+y^{2}$ արտահայտությունը բևեռային համակարգի $r^{2}$-ով, երկրորդ՝ դեկարտյան կորդինատային համակարգի մակերեսի $dxdy$ միավորը՝ բևեռային $drd\varphi$ -ով, երրորդը՝ փոխվել են ինտեգրման սահմանները՝ համաձայն նոր փոփոխականների։

Այստեղ ենթաինտեգրալային արտահայտությունը վերածվում է երկու արտահայտությունների արտադրյալի, որոնցից յուրաքանչյուրը կախված է միայն մեկ փոփոխականից՝

$I^{2}=\textstyle \int _{0}^{\infty }\displaystyle exp(-(r^{2}))rdr\textstyle \int _{0}^{2\pi }\displaystyle d\varphi$ (4)

Այս անորոշ ինտեգրալները կարելի է հեշտորեն հաշվել։ Հարկ է ուշադրություն դարձնել, որ (4)-ի առաջին ինտեգրալը $rdr=-\left({\frac {1}{2}}\right)d(-r^{2})$ արտահայտության առկայությամբ տարբերվում է (1) ինտեգրալից, որտեղ դիֆերենցիալի և էքսպոնենտի տակ գտնվող արտահայտությունները չեն համընկնում։

(4)-ը կգրվի որպես՝

$I^{2}=\textstyle \int _{0}^{\infty }\displaystyle dexp(-(r^{2}))\textstyle \int _{0}^{2\pi }\displaystyle d\varphi =-\left({\frac {1}{2}}\right)(0-1)2\pi =\pi$

Ստացվում է Պուասոնի ինտեգրալի հետևյալ արտահայտությունը՝

$I=\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle exp(-x^{2})dx={\sqrt {\pi }}$:

Ընդհանրացում և վարիացիա

Պուասոնի ինտեգրալի հիմք և ընդհանրացում է համարվում Գաուսյան ինտերգրալը (նաև անվանում են Էյլեր-Պուասոնի ինտերգալ), որը գաուսյան ֆունկցիայի ինտեգրա է։

Վարիացիաներ

Մաստշտաբավորված գաուսյան ֆունկցիայի գաուսյան ինտերգրալները՝

$\int _{-\infty }^{\infty }\alpha e^{-x^{2}/\beta ^{2}}\,dx=\alpha \beta {\sqrt {\pi }}$,

և բազմաչափ գաուսյան ինտեգրալները՝

$\int \alpha e^{-(x^{2}/\beta _{1}^{2}+y^{2}/\beta _{2}^{2}+z^{2}/\beta _{3}^{2}+\dots )}\,dxdydz\dots =\alpha \beta _{1}\beta _{2}\beta _{3}\dots {\sqrt {\pi ^{n}}}$,

պազրորեն բերվում են սովորական միաչափ ինտեգրալների (ինտեգրումը կատարվում է ողջ տարածությունով)։

Վերոնշյալը վերաբերվում է նաև հետևյալ տեսքի բազմաչափ ինտեգրալներին՝

$\int e^{xMx}\,dx_{1}dx_{2}dx_{3}\dots dx_{n}={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{|\det(M)|}}}$, որտեղ x-ը վեկտոր է, իսկ M-ը՝ բացասական սեփական թվերով սիմետրիկ մատրից։

Գործնական խնդիրներում (օրինակ` գաուսյան ֆունկցիայի ֆուրյե-ձևափոխության ժամանակ), հաճախ ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}+bx+c}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\,e^{{\frac {b^{2}}{4a}}+c},$

Պատմություն

Լեոնարդ էյլեր

Առաջին անգամ գաուսյան ինտեգրալը հայտաբերել է Էյլերը 1729 թվականին, հետո Պուասոնը գտել է հաշվման պարզ մեթոդ։

Այդ պատճառով այն անվանվում է էյլեր-պուասոնի ինտեգրալ։

Գրականություն

• Վ. Ֆ. Մորոզով, «Պուասոնի ինտեգրալը և նրա ածանցյալները», Երևանի համալսարանի հրատարակչություն, Երևան 2002։