Ուռուցիկ բազմություն

Ուռուցիկ բազմություն, բազմություն աֆֆինիում կամ վեկտորական տարածությունում, որի մեջ գտնվող երկու կետերից կազմված հատվածի բոլոր կետերը նույնպես պատկանում են տվյալ բազմությանը։

Ուռուցիկ բազմություն
Ոչ ուռուցիկ բազմություն

ՍահմանումներԽմբագրել

Դիցուք՝   աֆֆինիումը կամ վեկտորական տարածությունը գտնվում է վերը նշված իրական թվերի   բազմությունում։

  բազմությունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե դրա հետ ցանկացած երկու   կետերում   բազմությունը ներառում է հատվածի բոլոր   կետերը՝   բազմությանը միացնող   և   կետերով։ Այս հատվածը կարելի է ներկայացնել որպես

 

Առնչվող սահմանումներԽմբագրել

Սահմանված   վեկտորական տարածության  -ն անվանում ենք բացարձակ ուռուցիկ, եթե այն ուռուցիկ և հավասարակշռված է։

ՕրինակներԽմբագրել

  •   բազմության ուռուցիկ ենթաբազմությունները (շատ իրական թվեր)  միջակայքերն են։
  • Երկչափ էվկլիդյան տարածքում ուռուցիկ ենթաբազմությունների օրինակներ են ( ) կանոնավոր բազմանկյունները։
  • Եռաչափ էվկլիդային տարածության մեջ ուռուցիկ ենթաբազմությունների ( ) օրինակներ են մարմնի արքիմեդները և կանոնավոր բազմանիստները։
  • Թելա Կեպլերի՝ Պուանսոյի մարմինները (կանոնավոր աստղային բազմանկյունները) ոչ ուռուցիկ բազմությունների օրինակներ են:

ՀատկություններԽմբագրել

  • Ուռուցիկ բազմությունը տոպոլոգիական գծային տարածության մեջ կապակցված կամ գծային կապակցվածություն ունեցող հոմոտոպիկ համարժեք կետ է։
  • Կապակցման առումով ուռուցիկ բազմությունը կարող է սահմանվել հետևյալ կերպ. բազմությունը ուռուցիկ է, եթե նրա հատման կետը միացված է որևէ (իրական) գծի հետ:
  • Դիցուք՝   ուռուցիկ բազմությունը գծային տարածության մեջ է: Ապա   բազմությանն են պատկանում ցանկացած   տարրերը և բոլոր ոչ բացասական   կետերը, այնպես որ  , վեկտորը
     
պատկանի   բազմությանը
  • Վեկտոր  -ն կոչվում է տարրերի ուռուցիկ համադրություն՝  ։
  • Ուռուցիկ խմբերի ցանկացած շարքի հատումից առաջանում է ուռուցիկ բազմություն՝ ուռուցիկ ենթաբազմություններից ձևավորվելով ամբողջական ցանց։ Դրանից հետևում է, որ ցանկացած   գծային տարածության ենթաբազմությունում է ամենափոքր ուռուցիկ բազմությունը։ Այս բազմությունն  -ն պարունակող բոլոր ուռուցիկ բազմությունների հատման կետն է և կոչվում է  -ի ուռուցիկ բազմություն։
    • Փակ ուռուցիկ բազմությունները կարող են սահմանվել որպես փակ կիսատարածությունների հատման կետեր (հիպերհարթության միայն մի մասում ընկած տարածության բազմաթիվ կետեր): Վերը նշվածից պարզ է դառնում, որ նման հատման կետերը ուռուցիկ և փակ բազմություններ են: Ապացուցելու համար, որ յուրաքանչյուր ուռուցիկ բազմություն կարող է հատման կետ լինել, կարելի է օգտագործել օժանդակ հիպերհարթության թեորեմը, որը ֆունկցիոնալ վերլուծության Հանա-Բանախի թեորեմայի մասնավոր դեպքն է։
  • Հելլի թեորեմ: Ենթադրենք, որ   ուռուցիկ ենթաբազմությունների վերջնական խմբում ցանկացած   հատման կետ ոչ դատարկ է։ Այդ դեպքում հատման կետերում այս խմբի բոլոր ենթաբազմությունները ոչ դատարկ են։
  •  -ում միավոր մակերեսի ցանկացած ուռուցիկ բազմություն կարելի է դնել 2 մակերեսի եռանկյան մեջ[1]:

Տատանումներ և ընդհանրացումներԽմբագրել

  • Առանց որևէ փոփոխության սահմանումը աշխատում է աֆֆինինի տարածությունների`իրական թվերի դաշտի կամայական ընդլայնման վրա:

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Weisstein, Eric W., "Triangle Circumscribing", MathWorld.

ԳրականությունԽմբագրել

Արտաքին հղումներԽմբագրել