Մաթեմատիկական ֆունկցիայի տեսության մեջ Յակոբյան թետա ֆունկցիաները կազմում են երկու բարդ փոփոխականների հոլոմորֆ ֆունկցիաների հատուկ դաս։ Նրանք անվանվել են գերմանացի մաթեմատիկոս Կարլ Գուստավ Յակոբ Յակոբիի պատվին և դասվում են այսպես կոչված էլիպսային մոդուլային ֆունկցիաների։ Ջակոբին առաջինն էր, ով համակարգված կերպով ուսումնասիրեց դրանք և դրա հիման վրա մշակեց էլիպսային ֆունկցիաների իր տեսությունը։ Դրանք մի քանի փոփոխականների թետա ֆունկցիաների շատ ավելի մեծ դասի հատուկ դեպք են, որոնք սովորաբար կարող են կառուցվել R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} բացատների ցանցերից։
Թետա ֆունկցիաների քանորդները, որոնք բաժանվում են այսպես կոչված թետա զրոյական արժեքի ֆունկցիաների վրա, կոչվում են ամպլիտուդային ֆունկցիաներ։ Ամպլիտուդային ֆունկցիաները կազմում են էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների և եռանկյունաչափական ֆունկցիաների էլիպսային անալոգները։ Ինչպես բնորոշ է էլիպսային ֆունկցիաներին, Յակոբյան թետա ֆունկցիաները ունեն կրկնակի պարբերականություն իրենց ներսում գտնվող բարդ հարթության (ցանցային կառուցվածքի) իրական և երևակայական ուղղությունների երկայնքով։
Միևնույն ժամանակ, դրանք կարող են ներկայացվել որպես անվերջ շարք և որպես անվերջ արտադրյալ, որի գումարելիները կամ գործակիցները բաղկացած են էքսպոնենցիալ և կոսինուս կամ սինուսային գործակիցների արտադրյալների տարբերակների համակցությունից։ Յակոբյան թետա ֆունկցիաները կարևոր դեր են խաղում էլիպսային ֆունկցիաների, մոդուլային ձևերի, քառակուսի ձևերի և մոդուլային տարածությունների տեսության մեջ։ Ֆիզիկայի մեջ դրանք կարևոր են նաև դիֆուզիոն հավասարման և ջերմահաղորդման հավասարման, այսպես կոչված, ջերմահաղորդման միջուկը լուծելու համար։
Հիմնական Jacobi theta ֆունկցիաները կիսով չափ կրկնապատկված պարբերական էլիպսային ֆունկցիաներ են և սահմանվում են որպես անսահման գումարներ.
ϑ
1
(
z
;
w
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
(
−
1
)
k
−
1
/
2
exp
[
(
2
k
+
1
)
i
z
+
(
k
+
1
2
)
2
ln
(
w
)
]
{\displaystyle \vartheta _{1}(z;w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k-1/2}\exp[(2k+1)iz+(k+{\tfrac {1}{2}})^{2}\ln(w)]}
ϑ
2
(
z
;
w
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
exp
[
(
2
k
+
1
)
i
z
+
(
k
+
1
2
)
2
ln
(
w
)
]
{\displaystyle \vartheta _{2}(z;w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp[(2k+1)iz+(k+{\tfrac {1}{2}})^{2}\ln(w)]}
ϑ
3
(
z
;
w
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
exp
[
2
k
i
z
+
k
2
ln
(
w
)
]
{\displaystyle \vartheta _{3}(z;w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp[2kiz+k^{2}\ln(w)]}
ϑ
4
(
z
;
w
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
(
−
1
)
k
exp
[
2
k
i
z
+
k
2
ln
(
w
)
]
{\displaystyle \vartheta _{4}(z;w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\exp[2kiz+k^{2}\ln(w)]}
Բողոքական գերմանացի մաթեմատիկոս Կարլ Գուստավ Յակոբ Յակոբին այս վերլուծական աշխատանքները ներկայացրել է 1829 թ.
Նա դրանք նշել է «Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum» գրքում։
Լրացուցիչ Jacobi theta ֆունկցիաները[1]
ϑ
00
(
x
;
y
)
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
y
2
n
)
[
1
+
2
cos
(
2
x
)
y
2
n
−
1
+
y
4
n
−
2
]
{\displaystyle \vartheta _{00}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]}
ϑ
01
(
x
;
y
)
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
y
2
n
)
[
1
−
2
cos
(
2
x
)
y
2
n
−
1
+
y
4
n
−
2
]
{\displaystyle \vartheta _{01}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1-2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]}
ϑ
10
(
x
;
y
)
=
2
y
1
/
4
cos
(
x
)
∏
n
=
1
∞
(
1
−
y
2
n
)
[
1
+
2
cos
(
2
x
)
y
2
n
+
y
4
n
]
{\displaystyle \vartheta _{10}(x;y)=2y^{1/4}\cos(x)\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n}+y^{4n}]}
Այս երեք ֆունկցիաները պարբերաբար օգտագործվում են մաթեմատիկայի մեջ և հանրահաշվորեն կապված են վերը նշված չորս ֆունկցիաների հետ։
Օգտագործելով այս երեք թետա ֆունկցիաները, կարելի է նաև սահմանել[2]
Այս գործառույթների համար սահմանվում են նաև այսպես կոչված թետա զրոյական արժեքներ (գերմաներեն՝ Theta-Nullwerte).
ϑ
00
(
0
;
y
)
=
ϑ
00
(
y
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
y
k
2
{\displaystyle \vartheta _{00}(0;y)=\vartheta _{00}(y)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }y^{k^{2}}}
ϑ
01
(
0
;
y
)
=
ϑ
01
(
y
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
(
−
1
)
k
y
k
2
{\displaystyle \vartheta _{01}(0;y)=\vartheta _{01}(y)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}y^{k^{2}}}
ϑ
10
(
0
;
y
)
=
ϑ
10
(
y
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
y
(
k
+
1
2
)
2
{\displaystyle \vartheta _{10}(0;y)=\vartheta _{10}(y)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }y^{(k+{\frac {1}{2}})^{2}}}
Այստեղ ցուցադրված անսահման գումարները տալիս են ճիշտ նույն արժեքները, ինչ x-արժեք զրոյի համար նշված անսահման արտադրյալները։
խմբագրել
Այսպիսով, հիմնական թետա ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել այսպես կոչված ոչ պատշաճ ինտեգրալների միջոցով։
ϑ
00
(
v
)
=
1
+
4
v
ln
(
1
/
v
)
π
∫
0
∞
exp
[
−
ln
(
1
/
v
)
x
2
]
{
1
−
v
2
cos
[
2
ln
(
1
/
v
)
x
]
}
1
−
2
v
2
cos
[
2
ln
(
1
/
v
)
x
]
+
v
4
d
x
{\displaystyle \vartheta _{00}(v)=1+{\frac {4v{\sqrt {\ln(1/v)}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(1/v)\,x^{2}]\{1-v^{2}\cos[2\ln(1/v)\,x]\}}{1-2v^{2}\cos[2\ln(1/v)\,x]+v^{4}}}\,\mathrm {d} x}
Թետա օրինակները
θ
3
(
1
2
)
{\displaystyle \theta _{3}({\tfrac {1}{2}})}
θ
3
(
1
3
)
{\displaystyle \theta _{3}({\tfrac {1}{3}})}
ϑ
00
(
1
2
)
=
1
+
2
∑
n
=
1
∞
1
2
n
2
=
1
+
2
π
−
1
/
2
ln
(
2
)
∫
0
∞
exp
[
−
ln
(
2
)
x
2
]
{
16
−
4
cos
[
2
ln
(
2
)
x
]
}
17
−
8
cos
[
2
ln
(
2
)
x
]
d
x
{\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}=1+2\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(2)}}\,\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(2)\,x^{2}]\{16-4\cos[2\ln(2)\,x]\}}{17-8\cos[2\ln(2)\,x]}}\,\mathrm {d} x}
ϑ
00
(
1
2
)
=
2.128936827211877158669
…
{\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}=2.128936827211877158669\ldots }
ϑ
00
(
1
3
)
=
1
+
2
∑
n
=
1
∞
1
3
n
2
=
1
+
4
3
π
−
1
/
2
ln
(
3
)
∫
0
∞
exp
[
−
ln
(
3
)
x
2
]
{
81
−
9
cos
[
2
ln
(
3
)
x
]
}
82
−
18
cos
[
2
ln
(
3
)
x
]
d
x
{\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n^{2}}}}=1+{\frac {4}{3}}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(3)}}\,\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(3)\,x^{2}]\{81-9\cos[2\ln(3)\,x]\}}{82-18\cos[2\ln(3)\,x]}}\,\mathrm {d} x}
ϑ
00
(
1
3
)
=
1.691459681681715341348
…
{\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}=1.691459681681715341348\ldots }
ϑ
00
(
1
5
)
=
1
+
2
∑
n
=
1
∞
1
5
n
2
=
1
+
4
5
π
−
1
/
2
ln
(
5
)
∫
0
∞
exp
[
−
ln
(
5
)
x
2
]
{
625
−
25
cos
[
2
ln
(
5
)
x
]
}
626
−
50
cos
[
2
ln
(
5
)
x
]
d
x
{\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl (}{\frac {1}{5}}{\bigr )}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{5^{n^{2}}}}=1+{\frac {4}{5}}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(5)}}\,\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(5)\,x^{2}]\{625-25\cos[2\ln(5)\,x]\}}{626-50\cos[2\ln(5)\,x]}}\,\mathrm {d} x}
ϑ
00
(
1
5
)
=
1.40320102401310720671
…
{\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl (}{\frac {1}{5}}{\bigr )}=1.40320102401310720671\ldots }
Թետա ֆունկցիաների գումարման թեորեմները հետևյալն են.
ϑ
00
(
x
1
+
x
2
;
y
)
ϑ
00
(
x
1
−
x
2
;
y
)
ϑ
00
(
y
)
2
=
ϑ
01
(
x
1
;
y
)
2
ϑ
01
(
x
2
;
y
)
2
+
ϑ
10
(
x
1
;
y
)
2
ϑ
10
(
x
2
;
y
)
2
{\displaystyle \vartheta _{00}(x_{1}+x_{2};y)\vartheta _{00}(x_{1}-x_{2};y)\vartheta _{00}(y)^{2}=\vartheta _{01}(x_{1};y)^{2}\vartheta _{01}(x_{2};y)^{2}+\vartheta _{10}(x_{1};y)^{2}\vartheta _{10}(x_{2};y)^{2}}
ϑ
01
(
x
1
+
x
2
;
y
)
ϑ
01
(
x
1
−
x
2
;
y
)
ϑ
01
(
y
)
2
=
ϑ
00
(
x
1
;
y
)
2
ϑ
00
(
x
2
;
y
)
2
−
ϑ
10
(
x
1
;
y
)
2
ϑ
10
(
x
2
;
y
)
2
{\displaystyle \vartheta _{01}(x_{1}+x_{2};y)\vartheta _{01}(x_{1}-x_{2};y)\vartheta _{01}(y)^{2}=\vartheta _{00}(x_{1};y)^{2}\vartheta _{00}(x_{2};y)^{2}-\vartheta _{10}(x_{1};y)^{2}\vartheta _{10}(x_{2};y)^{2}}
Մաթեմատիկոս Սրինիվասա Ռամանուջանը[3]
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
2
n
−
1
)
=
(
x
;
x
2
)
∞
=
2
1
/
6
x
1
/
24
ϑ
10
(
x
)
−
1
/
6
ϑ
00
(
x
)
−
1
/
6
ϑ
01
(
x
)
1
/
3
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n-1})=(x;x^{2})_{\infty }=2^{1/6}x^{1/24}\vartheta _{10}(x)^{-1/6}\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{1/3}}
Հետևյալ արտադրանքը հետազոտվել է Լեոնարդ Օյլերի կողմից.
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
n
)
=
(
x
;
x
)
∞
=
2
−
1
/
6
x
−
1
/
24
ϑ
10
(
x
)
1
/
6
ϑ
00
(
x
)
1
/
6
ϑ
01
(
x
)
2
/
3
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=(x;x)_{\infty }=2^{-1/6}x^{-1/24}\vartheta _{10}(x)^{1/6}\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}}
Եթե գործում է «0 < s < 1» պայմանը, ապա վավեր է հետևյալ հավասարումը.
∑
k
=
−
∞
∞
2
s
k
s
2
k
+
1
=
ϑ
00
(
s
)
2
{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {2s^{k}}{s^{2k}+1}}=\vartheta _{00}(s)^{2}}
Սա էլիպսային անվանական ֆունկցիայի սահմանումն է.
q
(
ε
)
=
exp
[
−
π
K
(
1
−
ε
2
)
K
(
ε
)
−
1
]
{\displaystyle q(\varepsilon )=\exp[-\pi K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})K(\varepsilon )^{-1}]}
«K» ֆունկցիան սահմանվում է հետևյալ ինտեգրալով.
K
(
r
)
=
∫
0
π
/
2
1
1
−
r
2
sin
(
φ
)
2
d
φ
{\displaystyle K(r)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-r^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\,\mathrm {d} \varphi }
K
(
r
)
=
∫
0
1
2
(
z
2
+
1
)
2
−
4
r
2
z
2
d
z
{\displaystyle K(r)=\int _{0}^{1}{\frac {2}{\sqrt {(z^{2}+1)^{2}-4r^{2}z^{2}}}}\,\mathrm {d} z}
Որոշ գործառույթների արժեքներ կարող են հաշվարկվել հետևյալ բանաձևով.
ϑ
00
[
q
(
ε
)
]
=
2
π
−
1
K
(
ε
)
{\displaystyle \vartheta _{00}[q(\varepsilon )]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}}
ϑ
01
[
q
(
ε
)
]
=
1
−
ε
2
4
2
π
−
1
K
(
ε
)
{\displaystyle \vartheta _{01}[q(\varepsilon )]={\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}}
Յակոբիի ինքնությունը ծագում է այս հավասարումներից.
ϑ
10
(
x
)
=
ϑ
00
(
x
)
4
−
ϑ
01
(
x
)
4
4
{\displaystyle \vartheta _{10}(x)={\sqrt[{4}]{\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}}}
Թետա ֆունկցիաները ունեն հետևյալ[4]
ϑ
00
[
exp
(
−
π
)
]
=
π
1
/
4
Γ
(
3
4
)
−
1
{\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-\pi )]=\pi ^{1/4}\Gamma ({\tfrac {3}{4}})^{-1}}
ϑ
01
[
exp
(
−
π
)
]
=
2
−
1
/
4
π
1
/
4
Γ
(
3
4
)
−
1
{\displaystyle \vartheta _{01}[\exp(-\pi )]=2^{-1/4}\pi ^{1/4}\Gamma ({\tfrac {3}{4}})^{-1}}
ϑ
10
[
exp
(
−
π
)
]
=
2
−
1
/
4
π
1
/
4
Γ
(
3
4
)
−
1
{\displaystyle \vartheta _{10}[\exp(-\pi )]=2^{-1/4}\pi ^{1/4}\Gamma ({\tfrac {3}{4}})^{-1}}
ϑ
00
[
exp
(
−
2
π
)
]
=
2
−
1
/
8
π
1
/
2
Γ
(
3
4
)
−
1
/
2
Γ
(
5
8
)
−
1
{\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=2^{-1/8}\pi ^{1/2}\Gamma ({\tfrac {3}{4}})^{-1/2}\Gamma ({\tfrac {5}{8}})^{-1}}
ϑ
00
[
exp
(
−
3
π
)
]
=
2
5
/
6
3
−
5
/
8
π
1
/
2
Γ
(
2
3
)
−
3
/
2
{\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]=2^{5/6}3^{-5/8}\pi ^{1/2}\Gamma ({\tfrac {2}{3}})^{-3/2}}
Հետևյալ նույնականացման բանաձևերը օգտագործվում են մի քանի ֆունկցիայի արժեքներ որոշելու համար.
ϑ
00
[
q
(
ε
)
2
]
=
cos
[
1
2
arcsin
(
ε
)
]
ϑ
00
[
q
(
ε
)
]
{\displaystyle \vartheta _{00}[q(\varepsilon )^{2}]=\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\varepsilon )]\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]}
ϑ
01
[
q
(
ε
)
2
]
=
(
1
−
ε
2
)
1
/
8
ϑ
00
[
q
(
ε
)
]
{\displaystyle \vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{2}]=(1-\varepsilon ^{2})^{1/8}\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]}
27
ϑ
00
[
q
(
ε
)
3
]
8
ϑ
00
[
q
(
ε
)
]
8
=
18
ϑ
00
[
q
(
ε
)
3
]
4
ϑ
00
[
q
(
ε
)
]
4
+
8
cos
[
2
arcsin
(
ε
)
]
ϑ
00
[
q
(
ε
)
3
]
2
ϑ
00
[
q
(
ε
)
]
2
+
1
{\displaystyle 27{\frac {\vartheta _{00}[q(\varepsilon )^{3}]^{8}}{\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{8}}}=18{\frac {\vartheta _{00}[q(\varepsilon )^{3}]^{4}}{\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{4}}}+8\cos[2\arcsin(\varepsilon )]{\frac {\vartheta _{00}[q(\varepsilon )^{3}]^{2}}{\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}}}+1}
27
ϑ
01
[
q
(
ε
)
3
]
8
ϑ
01
[
q
(
ε
)
]
8
=
18
ϑ
01
[
q
(
ε
)
3
]
4
ϑ
01
[
q
(
ε
)
]
4
+
8
sec
[
2
arctan
(
ε
)
]
ϑ
01
[
q
(
ε
)
3
]
2
ϑ
01
[
q
(
ε
)
]
2
+
1
{\displaystyle 27{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{3}]^{8}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{8}}}=18{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{3}]^{4}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{4}}}+8\sec[2\arctan(\varepsilon )]{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{3}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}+1}
{
ϑ
01
[
q
(
ε
)
5
]
2
ϑ
01
[
q
(
ε
)
]
2
−
1
}
{
5
ϑ
01
[
q
(
ε
)
5
]
2
ϑ
01
[
q
(
ε
)
]
2
−
1
}
5
=
64
tan
[
2
arctan
(
ε
)
]
2
ϑ
01
[
q
(
ε
)
5
]
2
ϑ
01
[
q
(
ε
)
]
2
{\displaystyle {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{5}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}5{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{5}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}-1{\biggr \}}^{5}=64\tan[2\arctan(\varepsilon )]^{2}{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{5}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}}
Հաշվարկման օրինակներ.
exp
(
−
π
)
=
q
(
1
2
2
)
{\displaystyle \exp(-\pi )=q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}
exp
(
−
2
π
)
=
q
(
2
−
1
)
{\displaystyle \exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )=q({\sqrt {2}}-1)}
exp
(
−
3
π
)
=
q
[
1
4
(
6
−
2
)
]
{\displaystyle \exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )=q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]}
Այս արժեքները հավասարումների մեջ միացնելը և այնուհետև վերը նշված հավասարումները լուծելը առաջացնում են հետևյալ արժեքները.
ϑ
00
[
exp
(
−
3
π
)
]
ϑ
00
[
exp
(
−
π
)
]
=
108
−
1
/
8
3
+
1
{\displaystyle {\frac {\vartheta _{00}[\exp(-3\pi )]}{\vartheta _{00}[\exp(-\pi )]}}=108^{-1/8}{\sqrt {{\sqrt {3}}+1}}}
ϑ
00
[
exp
(
−
3
2
π
)
]
ϑ
00
[
exp
(
−
2
π
)
]
=
3
−
1
/
2
6
+
2
−
1
{\displaystyle {\frac {\vartheta _{00}[\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )]}{\vartheta _{00}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]}}=3^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}-1}}}
ϑ
00
[
exp
(
−
3
3
π
)
]
ϑ
00
[
exp
(
−
3
π
)
]
=
3
−
3
/
4
(
2
3
+
1
)
{\displaystyle {\frac {\vartheta _{00}[\exp(-3{\sqrt {3}}\,\pi )]}{\vartheta _{00}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]}}=3^{-3/4}({\sqrt[{3}]{2}}+1)}
ϑ
01
[
exp
(
−
3
π
)
]
ϑ
01
[
exp
(
−
π
)
]
=
3
−
3
/
8
2
+
3
4
{\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-3\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-\pi )]}}=3^{-3/8}{\sqrt {{\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}}}}}
ϑ
01
[
exp
(
−
3
2
π
)
]
ϑ
01
[
exp
(
−
2
π
)
]
=
3
−
1
/
2
3
+
2
{\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]}}=3^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}}
ϑ
01
[
exp
(
−
3
3
π
)
]
ϑ
01
[
exp
(
−
3
π
)
]
=
108
−
1
/
4
(
2
2
3
+
3
−
1
)
{\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-3{\sqrt {3}}\,\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]}}=108^{-1/4}(2{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt {3}}-1)}
ϑ
01
[
exp
(
−
5
π
)
]
ϑ
01
[
exp
(
−
π
)
]
=
5
−
1
/
2
3
+
2
5
4
{\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-5\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-\pi )]}}=5^{-1/2}{\sqrt {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}}}
ϑ
01
[
exp
(
−
5
2
π
)
]
ϑ
01
[
exp
(
−
2
π
)
]
=
4
15
10
cos
(
1
10
π
)
cosh
[
1
3
artanh
(
3
8
6
)
]
+
1
15
5
tan
(
1
5
π
)
{\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]}}={\tfrac {4}{15}}{\sqrt {10}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\cosh[{\tfrac {1}{3}}{\text{artanh}}({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})]+{\tfrac {1}{15}}{\sqrt {5}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi )}
ϑ
01
[
exp
(
−
5
3
π
)
]
ϑ
01
[
exp
(
−
3
π
)
]
=
2
15
10
3
(
3
−
3
)
sin
(
1
5
π
)
+
1
15
15
cot
(
1
10
π
)
{\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-5{\sqrt {3}}\,\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]}}={\tfrac {2}{15}}{\sqrt[{3}]{10}}(3-{\sqrt {3}})\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )+{\tfrac {1}{15}}{\sqrt {15}}\cot({\tfrac {1}{10}}\pi )}
խմբագրել
Թետա զրոյական արժեքի ֆունկցիաների ածանցյալները[7]
d
d
x
ϑ
10
(
x
)
=
1
2
π
x
ϑ
10
(
x
)
ϑ
00
(
x
)
2
E
[
ϑ
10
(
x
)
2
ϑ
00
(
x
)
2
]
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{10}(x)={\frac {1}{2\pi x}}\vartheta _{10}(x)\vartheta _{00}(x)^{2}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{10}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}}}{\biggr ]}}
d
d
x
ϑ
00
(
x
)
=
ϑ
00
(
x
)
[
ϑ
00
(
x
)
2
+
ϑ
01
(
x
)
2
]
{
1
2
π
x
E
[
ϑ
00
(
x
)
2
−
ϑ
01
(
x
)
2
ϑ
00
(
x
)
2
+
ϑ
01
(
x
)
2
]
−
ϑ
01
(
x
)
2
4
x
}
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{00}(x)=\vartheta _{00}(x){\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{4x}}{\biggr \}}}
d
d
x
ϑ
01
(
x
)
=
ϑ
01
(
x
)
[
ϑ
00
(
x
)
2
+
ϑ
01
(
x
)
2
]
{
1
2
π
x
E
[
ϑ
00
(
x
)
2
−
ϑ
01
(
x
)
2
ϑ
00
(
x
)
2
+
ϑ
01
(
x
)
2
]
−
ϑ
00
(
x
)
2
4
x
}
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{01}(x)=\vartheta _{01}(x){\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}}{4x}}{\biggr \}}}
Երկրորդ տիպի ամբողջական էլիպսային ինտեգրալն[8]
E
(
r
)
=
∫
0
π
/
2
1
−
r
2
sin
(
φ
)
2
d
φ
{\displaystyle E(r)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-r^{2}\sin(\varphi )^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi }
E
(
r
)
=
∫
0
1
2
(
z
2
+
1
)
2
−
4
r
2
z
2
(
z
2
+
1
)
2
d
z
{\displaystyle E(r)=\int _{0}^{1}{\frac {2{\sqrt {(z^{2}+1)^{2}-4r^{2}z^{2}}}}{(z^{2}+1)^{2}}}\,\mathrm {d} z}
Այստեղ նշված երեք թետա ֆունկցիաներից երկուսի գործակիցի ածանցյալները միշտ ռացիոնալ կապ ունեն այդ երեք ֆունկցիաների հետ.
d
d
x
ϑ
10
(
x
)
ϑ
00
(
x
)
=
ϑ
10
(
x
)
ϑ
01
(
x
)
4
4
x
ϑ
00
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\vartheta _{10}(x)}{\vartheta _{00}(x)}}={\frac {\vartheta _{10}(x)\vartheta _{01}(x)^{4}}{4x\,\vartheta _{00}(x)}}}
d
d
x
ϑ
10
(
x
)
ϑ
01
(
x
)
=
ϑ
10
(
x
)
ϑ
00
(
x
)
4
4
x
ϑ
01
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\vartheta _{10}(x)}{\vartheta _{01}(x)}}={\frac {\vartheta _{10}(x)\vartheta _{00}(x)^{4}}{4x\,\vartheta _{01}(x)}}}
d
d
x
ϑ
00
(
x
)
ϑ
01
(
x
)
=
ϑ
00
(
x
)
5
−
ϑ
00
(
x
)
ϑ
01
(
x
)
4
4
x
ϑ
01
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\vartheta _{00}(x)}{\vartheta _{01}(x)}}={\frac {\vartheta _{00}(x)^{5}-\vartheta _{00}(x)\vartheta _{01}(x)^{4}}{4x\,\vartheta _{01}(x)}}}
Այս ինտեգրալները վավեր են ϑ₀₀(x), ϑ₀1(x) և ϑ10(x) թետա զրոյական արժեք ունեցող ֆունկցիաների համար.
∫
0
1
ϑ
00
(
x
)
d
x
=
∑
k
=
−
∞
∞
1
k
2
+
1
=
π
coth
(
π
)
≈
3,153
348
{\displaystyle \int _{0}^{1}\vartheta _{00}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{k^{2}+1}}=\pi \coth(\pi )\approx 3{,}153348}
∫
0
1
ϑ
01
(
x
)
d
x
=
∑
k
=
−
∞
∞
(
−
1
)
k
k
2
+
1
=
π
csch
(
π
)
≈
0,272
029
{\displaystyle \int _{0}^{1}\vartheta _{01}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}+1}}=\pi \,\operatorname {csch} (\pi )\approx 0{,}272029}
∫
0
1
ϑ
10
(
x
)
d
x
=
∑
k
=
−
∞
∞
4
(
2
k
+
1
)
2
+
4
=
π
tanh
(
π
)
≈
3,129
881
{\displaystyle \int _{0}^{1}\vartheta _{10}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {4}{(2k+1)^{2}+4}}=\pi \tanh(\pi )\approx 3{,}129881}
Ցուցադրված վերջնական արդյունքները հիմնված են Քոշիի ընդհանուր բանաձևերի վրա։
խմբագրել
Հետևյալ ձևով հինգերորդ աստիճանի հավասարումները[9] [10] [11] [12] [13]
Հինգերորդ աստիճանի հավասարումներ ձևով Bring-Jerrard-Quintic
x
5
+
5
x
=
4
c
{\displaystyle x^{5}+5\,x=4\,c}
Q
=
q
[
(
2
c
2
+
2
+
2
c
4
+
1
)
−
1
/
2
(
c
4
+
1
+
1
+
c
)
]
{\displaystyle Q=q{\bigl [}(2\,c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}})^{-1/2}({\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c){\bigr ]}}
u
=
2
ϑ
00
(
Q
5
)
ϑ
00
(
Q
1
/
5
)
−
2
ϑ
00
(
Q
)
2
ϑ
00
(
Q
1
/
5
)
2
+
5
ϑ
00
(
Q
5
)
2
−
4
ϑ
00
(
Q
)
2
{\displaystyle u={\frac {2\,\vartheta _{00}(Q^{5})\,\vartheta _{00}(Q^{1/5})-2\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}{\vartheta _{00}(Q^{1/5})^{2}+5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{2}-4\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}}}
x
=
c
u
(
5
u
2
−
10
u
+
4
)
5
u
2
−
6
u
+
2
{\displaystyle x={\frac {c\,u\,(5\,u^{2}-10\,u+4)}{5\,u^{2}-6\,u+2}}}
x
5
+
5
x
=
4
{\displaystyle x^{5}+5\,x=4}
Q
=
q
[
(
4
+
2
2
)
−
1
/
2
(
2
+
1
+
1
)
]
≈
0.1852028700803001414251518230736124606036037762504611138834393086
…
{\displaystyle Q=q{\bigl [}(4+2{\sqrt {2}})^{-1/2}({\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}+1){\bigr ]}\approx 0.1852028700803001414251518230736124606036037762504611138834393086\ldots }
u
=
2
ϑ
00
(
Q
5
)
ϑ
00
(
Q
1
/
5
)
−
2
ϑ
00
(
Q
)
2
ϑ
00
(
Q
1
/
5
)
2
+
5
ϑ
00
(
Q
5
)
2
−
4
ϑ
00
(
Q
)
2
≈
0.3447357019439680107642844248203058218212701865144922007257031
…
{\displaystyle u={\frac {2\,\vartheta _{00}(Q^{5})\,\vartheta _{00}(Q^{1/5})-2\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}{\vartheta _{00}(Q^{1/5})^{2}+5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{2}-4\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}}\approx 0.3447357019439680107642844248203058218212701865144922007257031\ldots }
x
=
u
(
5
u
2
−
10
u
+
4
)
5
u
2
−
6
u
+
2
≈
0.75192639869405948026865366345020738740978383913037835
…
{\displaystyle x={\frac {u\,(5\,u^{2}-10\,u+4)}{5\,u^{2}-6\,u+2}}\approx 0.75192639869405948026865366345020738740978383913037835\ldots }
x
5
+
5
x
=
8
{\displaystyle x^{5}+5\,x=8}
Q
=
q
[
(
10
+
2
17
)
−
1
/
2
(
17
+
1
+
2
)
]
≈
0.3063466544466074265361088194021326272090461143559097382981847
…
{\displaystyle Q=q{\bigl [}(10+2{\sqrt {17}})^{-1/2}({\sqrt {{\sqrt {17}}+1}}+2){\bigr ]}\approx 0.3063466544466074265361088194021326272090461143559097382981847\ldots }
u
=
2
ϑ
00
(
Q
5
)
ϑ
00
(
Q
1
/
5
)
−
2
ϑ
00
(
Q
)
2
ϑ
00
(
Q
1
/
5
)
2
+
5
ϑ
00
(
Q
5
)
2
−
4
ϑ
00
(
Q
)
2
≈
0.26117326232214439979677125632439205703620052387333832254673599
…
{\displaystyle u={\frac {2\,\vartheta _{00}(Q^{5})\,\vartheta _{00}(Q^{1/5})-2\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}{\vartheta _{00}(Q^{1/5})^{2}+5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{2}-4\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}}\approx 0.26117326232214439979677125632439205703620052387333832254673599\ldots }
x
=
2
u
(
5
u
2
−
10
u
+
4
)
5
u
2
−
6
u
+
2
≈
1.16703618370164304731101943199639610129755211048801991
…
{\displaystyle x={\frac {2\,u\,(5\,u^{2}-10\,u+4)}{5\,u^{2}-6\,u+2}}\approx 1.16703618370164304731101943199639610129755211048801991\ldots }
x
5
+
5
x
=
12
{\displaystyle x^{5}+5\,x=12}
Q
=
q
[
(
20
+
2
82
)
−
1
/
2
(
82
+
1
+
3
)
]
≈
0.370664951152024075624432522177568657151868089959747395750974
…
{\displaystyle Q=q{\bigl [}(20+2{\sqrt {82}})^{-1/2}({\sqrt {{\sqrt {82}}+1}}+3){\bigr ]}\approx 0.370664951152024075624432522177568657151868089959747395750974\ldots }
u
=
2
ϑ
00
(
Q
5
)
ϑ
00
(
Q
1
/
5
)
−
2
ϑ
00
(
Q
)
2
ϑ
00
(
Q
1
/
5
)
2
+
5
ϑ
00
(
Q
5
)
2
−
4
ϑ
00
(
Q
)
2
≈
0.2090460949758925319033273467025369651597551071050541509568731
…
{\displaystyle u={\frac {2\,\vartheta _{00}(Q^{5})\,\vartheta _{00}(Q^{1/5})-2\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}{\vartheta _{00}(Q^{1/5})^{2}+5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{2}-4\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}}\approx 0.2090460949758925319033273467025369651597551071050541509568731\ldots }
x
=
3
u
(
5
u
2
−
10
u
+
4
)
5
u
2
−
6
u
+
2
≈
1.38409179582314635924775512626713547488593506018067645
…
{\displaystyle x={\frac {3\,u\,(5\,u^{2}-10\,u+4)}{5\,u^{2}-6\,u+2}}\approx 1.38409179582314635924775512626713547488593506018067645\ldots }
Կարևոր լրացուցիչ տեղեկատվություն.
q
[
(
2
c
2
+
2
+
2
c
4
+
1
)
−
1
/
2
(
c
4
+
1
+
1
+
c
)
]
=
{\displaystyle q{\bigl [}(2\,c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}})^{-1/2}({\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c){\bigr ]}=}
=
exp
{
−
π
[
∫
0
1
2
(
z
4
+
2
c
2
c
4
+
1
−
2
c
2
z
2
+
1
)
−
1
/
2
d
z
]
÷
[
∫
0
1
2
(
z
4
−
2
c
2
c
4
+
1
−
2
c
2
z
2
+
1
)
−
1
/
2
d
z
]
}
{\displaystyle =\exp {\biggl \{}-\pi {\biggl [}\int _{0}^{1}2{\bigl (}z^{4}+2c{\sqrt {2{\sqrt {c^{4}+1}}-2c^{2}}}\,z^{2}+1{\bigr )}^{-1/2}\,\mathrm {d} z{\biggr ]}\div {\biggl [}\int _{0}^{1}2{\bigl (}z^{4}-2c{\sqrt {2{\sqrt {c^{4}+1}}-2c^{2}}}\,z^{2}+1{\bigr )}^{-1/2}\,\mathrm {d} z{\biggr ]}{\biggr \}}}
↑ «Derivative of the Jacobi theta function: Introduction to the Jacobi theta functions» . functions.wolfram.com . Վերցված է 2021 թ․ հուլիսի 28-ին .↑ «What is a Theta Function?» . Mathematics Stack Exchange . Վերցված է 2021 թ․ հուլիսի 28-ին .↑ Weisstein, Eric W. «Ramanujan g- and G-Functions» . mathworld.wolfram.com (անգլերեն). Վերցված է 2021 թ․ հուլիսի 28-ին . ↑ «Theta-function identities and the explicit formulas for theta-function and their applications» . Journal of Mathematical Analysis and Applications (անգլերեն). 292 (2): 381–400. 2004 թ․ ապրիլի 15. doi :10.1016/j.jmaa.2003.12.009 . ISSN 0022-247X .↑ Landau (1899) zitiert nach Borwein , Page 94, Exercise 3.
↑ «Number-theoretical, combinatorial and integer functions – mpmath 1.1.0 documentation» . Վերցված է 2021-07-18 -ին .↑ Weisstein, Eric W., "Elliptic Alpha Function" , MathWorld . ↑ «integration - Curious integrals for Jacobi Theta Functions $\int_0^1 \vartheta_n(0,q)dq$» (անգլերեն). Վերցված է 2022-08-13 -ին .↑ Young, George Paxton (1885 թ․ հունվարի 1). Solution of Solvable Irreducible Quintic Equations, without the Aid of a Resolvent Sextic ↑ Runge, C. (1900-01). «Über die auflösbaren Gleichungen von der Form x5+ux+v=o» . Acta Mathematica . 7 (none): 173–186. doi :10.1007/BF02402200 . ISSN 0001-5962 . ↑ Emil Jann Brahmeyer (2024 թ․ հունիսի 6), Wiederholung der Gleichungen fünften Grades in BJ-Form , Վերցված է 2024 թ․ հունիսի 16-ին ↑ Emil Jann Brahmeyer (2024 թ․ մայիսի 24), Gleichungen fünften Grades Gleichungsrennen Zwei , Վերցված է 2024 թ․ հունիսի 16-ին ↑ Brioschi, F. (1858 թ․ դեկտեմբերի 1). «Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado: Hermite — Sur la résolution de l'Équation du cinquiéme degré Comptes rendus —. N. 11. Mars. 1858» . doi :10.1007/bf03197334 .
![{\displaystyle \vartheta _{1}(z;w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k-1/2}\exp[(2k+1)iz+(k+{\tfrac {1}{2}})^{2}\ln(w)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c0333dea5cba2907dbe8ea54e20d87fe60210c)
![{\displaystyle \vartheta _{2}(z;w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp[(2k+1)iz+(k+{\tfrac {1}{2}})^{2}\ln(w)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0064ae5ac867024074af029a747568538389f12e)
![{\displaystyle \vartheta _{3}(z;w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp[2kiz+k^{2}\ln(w)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15e72dc038a3b081b9ed137b0b93e85fe1231f1c)
![{\displaystyle \vartheta _{4}(z;w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\exp[2kiz+k^{2}\ln(w)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1883f4d67d248437cd2b7f2b5de9271a5bc8e1e7)
![{\displaystyle \vartheta _{00}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31517b9d6574cf66118c97bdae43a14d730ad026)
![{\displaystyle \vartheta _{01}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1-2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4248e41592bc7ef203c97bcc6dd7f6bbef3eb1ca)
![{\displaystyle \vartheta _{10}(x;y)=2y^{1/4}\cos(x)\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n}+y^{4n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be72557fd8c5a2b56d1c999900683e005d27150)
![{\displaystyle \vartheta _{00}(v)=1+{\frac {4v{\sqrt {\ln(1/v)}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(1/v)\,x^{2}]\{1-v^{2}\cos[2\ln(1/v)\,x]\}}{1-2v^{2}\cos[2\ln(1/v)\,x]+v^{4}}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/521d054f6c58690a1b026e8a250dc18cd71ccd39)
![{\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}=1+2\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(2)}}\,\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(2)\,x^{2}]\{16-4\cos[2\ln(2)\,x]\}}{17-8\cos[2\ln(2)\,x]}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab6b3d48c8ae4405ca75db86f40267d60873d46)
![{\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n^{2}}}}=1+{\frac {4}{3}}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(3)}}\,\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(3)\,x^{2}]\{81-9\cos[2\ln(3)\,x]\}}{82-18\cos[2\ln(3)\,x]}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0c534a207e59dc4513d7518b645c0b63e2d939c)
![{\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl (}{\frac {1}{5}}{\bigr )}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{5^{n^{2}}}}=1+{\frac {4}{5}}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(5)}}\,\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(5)\,x^{2}]\{625-25\cos[2\ln(5)\,x]\}}{626-50\cos[2\ln(5)\,x]}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e44ac49667d6429020931cca2bbe8dc7f990282)
![{\displaystyle q(\varepsilon )=\exp[-\pi K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})K(\varepsilon )^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c64c06dc297c68502bb06e6c07e36bbccd609e2)
![{\displaystyle \vartheta _{00}[q(\varepsilon )]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f62a25adecf660aa0d24611b65a4fee95a7e95e8)
![{\displaystyle \vartheta _{01}[q(\varepsilon )]={\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f10b2062dae698c5286d188e05a86107c76d4e0)
![{\displaystyle \vartheta _{10}(x)={\sqrt[{4}]{\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c5ae92bc640738ba5a1e90fff0886f9124d337)
![{\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-\pi )]=\pi ^{1/4}\Gamma ({\tfrac {3}{4}})^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2769cb1e29c33be4806f1077155eb1baa62beac5)
![{\displaystyle \vartheta _{01}[\exp(-\pi )]=2^{-1/4}\pi ^{1/4}\Gamma ({\tfrac {3}{4}})^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0151b294d38ae0b2180e49357c763efda6522232)
![{\displaystyle \vartheta _{10}[\exp(-\pi )]=2^{-1/4}\pi ^{1/4}\Gamma ({\tfrac {3}{4}})^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8abda280e2cfb61e8008b8eda62c653b92c2edbf)
![{\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=2^{-1/8}\pi ^{1/2}\Gamma ({\tfrac {3}{4}})^{-1/2}\Gamma ({\tfrac {5}{8}})^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5406357a490bd21d276c89e3b04f6d4c42ffc886)
![{\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]=2^{5/6}3^{-5/8}\pi ^{1/2}\Gamma ({\tfrac {2}{3}})^{-3/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4cca4d1e9e491686d5cbb9c02e8acca096faa9e)
![{\displaystyle \vartheta _{00}[q(\varepsilon )^{2}]=\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\varepsilon )]\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0633b78ed20d4a51fc22b5691025508dfedf81ec)
![{\displaystyle \vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{2}]=(1-\varepsilon ^{2})^{1/8}\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/934ad5207f7906a55180385764587bd5bc857a24)
![{\displaystyle 27{\frac {\vartheta _{00}[q(\varepsilon )^{3}]^{8}}{\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{8}}}=18{\frac {\vartheta _{00}[q(\varepsilon )^{3}]^{4}}{\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{4}}}+8\cos[2\arcsin(\varepsilon )]{\frac {\vartheta _{00}[q(\varepsilon )^{3}]^{2}}{\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}}}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31a935cbb4cfcafda5c2dff3d2dc9099b9460c5)
![{\displaystyle 27{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{3}]^{8}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{8}}}=18{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{3}]^{4}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{4}}}+8\sec[2\arctan(\varepsilon )]{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{3}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb249fba89a15424e685c0bee08a4d871931682a)
![{\displaystyle {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{5}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}5{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{5}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}-1{\biggr \}}^{5}=64\tan[2\arctan(\varepsilon )]^{2}{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{5}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c27cf20ed1406a755cbb49ba3c7a507791ab67f0)
![{\displaystyle \exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )=q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebc39dc73ec8303afd8b04823d87a91c5e986e39)
![{\displaystyle {\frac {\vartheta _{00}[\exp(-3\pi )]}{\vartheta _{00}[\exp(-\pi )]}}=108^{-1/8}{\sqrt {{\sqrt {3}}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1912ef1637ef157a9d8f07287cef05654d6542ca)
![{\displaystyle {\frac {\vartheta _{00}[\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )]}{\vartheta _{00}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]}}=3^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2181af31a17a9ee56a43d65225c0edb54bb08653)
![{\displaystyle {\frac {\vartheta _{00}[\exp(-3{\sqrt {3}}\,\pi )]}{\vartheta _{00}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]}}=3^{-3/4}({\sqrt[{3}]{2}}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03eb54f6c6cf0d015381a479a63cd19ecea6b9f2)
![{\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-3\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-\pi )]}}=3^{-3/8}{\sqrt {{\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/201e1e8ce6eeba27e46d08ff27ca483346c81be1)
![{\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]}}=3^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95087e5acb126d7839e81c3b40384f2af09852c3)
![{\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-3{\sqrt {3}}\,\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]}}=108^{-1/4}(2{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt {3}}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7edff75a9fbea2b38c1d0cd318367e75556d66ef)
![{\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-5\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-\pi )]}}=5^{-1/2}{\sqrt {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dfe2849cd21be45bf3031beebbcef401205190f)
![{\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]}}={\tfrac {4}{15}}{\sqrt {10}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\cosh[{\tfrac {1}{3}}{\text{artanh}}({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})]+{\tfrac {1}{15}}{\sqrt {5}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17e38a69f3323f1c34ad77d8624eba123dfeb95e)
![{\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-5{\sqrt {3}}\,\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]}}={\tfrac {2}{15}}{\sqrt[{3}]{10}}(3-{\sqrt {3}})\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )+{\tfrac {1}{15}}{\sqrt {15}}\cot({\tfrac {1}{10}}\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb97d0f3d2b68f594ed49a4f85fd4a09b71d6a8)
![{\displaystyle ={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,\vartheta _{10}(\Phi ^{-2})^{2}={\frac {\sqrt {5}}{8}}{\bigl [}\vartheta _{00}(\Phi ^{-1})^{2}-\vartheta _{01}(\Phi ^{-1})^{2}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c906dd29e77af17ce6f59a1fc787537c3343d4e)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}^{2}}}={\frac {5}{24}}{\bigl [}2\vartheta _{10}(\Phi ^{-2})^{4}-\vartheta _{00}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}={\frac {5}{24}}{\bigl [}\vartheta _{00}(\Phi ^{-2})^{4}-2\vartheta _{01}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081afe6f5a8e85c66841ed1269b92c192b709528)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{2n-1}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\vartheta _{10}{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}^{2}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\bigl [}\vartheta _{00}({\sqrt {2}}-1)^{2}-\vartheta _{01}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b1d871a2d6fdca3df549fc1d00d4a4070c595d5)
![{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }x^{ak^{2}+bk+c}=\exp {\bigl [}{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\ln(x){\bigr ]}{\bigl [}{\frac {-\pi }{a\ln(x)}}{\bigr ]}^{1/2}\vartheta _{00}{\bigl \{}{\frac {\pi b}{2a}};\exp {\bigl [}{\frac {\pi ^{2}}{a}}\ln(x)^{-1}{\bigr ]}{\bigr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e559b587188b55187ca9b42d13b4ff6813a3956)
![{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\bigl (}{\frac {7}{11}}{\bigr )}^{5k^{2}+3k+2}={\bigl (}{\frac {7}{11}}{\bigr )}^{31/20}{\bigl (}{\frac {\pi }{5}}{\bigr )}^{1/2}\ln {\bigl (}{\frac {11}{7}}{\bigr )}^{-1/2}\vartheta _{00}{\bigl \{}{\frac {3\pi }{10}};\exp {\bigl [}{\frac {1}{5}}\pi ^{2}\ln {\bigl (}{\frac {7}{11}}{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}{\bigr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52dde98bebae1dcaf7583e1b2ceea687ae65733c)
![{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\bigl (}{\frac {11}{13}}{\bigr )}^{7k^{2}+5k+3}={\bigl (}{\frac {11}{13}}{\bigr )}^{59/28}{\bigl (}{\frac {\pi }{7}}{\bigr )}^{1/2}\ln {\bigl (}{\frac {13}{11}}{\bigr )}^{-1/2}\vartheta _{00}{\bigl \{}{\frac {5\pi }{14}};\exp {\bigl [}{\frac {1}{7}}\pi ^{2}\ln {\bigl (}{\frac {11}{13}}{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}{\bigr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282e155fee6e9f25fb2a344dc77c886fe0ab8b98)
![{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\bigl (}{\frac {13}{17}}{\bigr )}^{11k^{2}+7k+5}={\bigl (}{\frac {13}{17}}{\bigr )}^{171/44}{\bigl (}{\frac {\pi }{11}}{\bigr )}^{1/2}\ln {\bigl (}{\frac {17}{13}}{\bigr )}^{-1/2}\vartheta _{00}{\bigl \{}{\frac {7\pi }{22}};\exp {\bigl [}{\frac {1}{11}}\pi ^{2}\ln {\bigl (}{\frac {13}{17}}{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}{\bigr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b6c8ab8569e20a0d7d5634bd343882ff804c18b)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{10}(x)={\frac {1}{2\pi x}}\vartheta _{10}(x)\vartheta _{00}(x)^{2}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{10}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}}}{\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84cd43077be6186141b44bfcaa9c1575bafada2)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{00}(x)=\vartheta _{00}(x){\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{4x}}{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf281c3f5561e384cc0481d485fde75ff3293f67)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{01}(x)=\vartheta _{01}(x){\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}}{4x}}{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ebd20be5b0d91ff51a243c43e3ef95e8153e2aa)
![{\displaystyle Q=q{\bigl [}(2\,c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}})^{-1/2}({\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc53425461de700284c45d892dcd95413b1e1ecf)
![{\displaystyle Q=q{\bigl [}(4+2{\sqrt {2}})^{-1/2}({\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}+1){\bigr ]}\approx 0.1852028700803001414251518230736124606036037762504611138834393086\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ece3fc33b4cdbeb2df0575c200c3b889ae8d7f3)
![{\displaystyle Q=q{\bigl [}(10+2{\sqrt {17}})^{-1/2}({\sqrt {{\sqrt {17}}+1}}+2){\bigr ]}\approx 0.3063466544466074265361088194021326272090461143559097382981847\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e162c22bfbdebe15705da6128b37aa69363a8275)
![{\displaystyle Q=q{\bigl [}(20+2{\sqrt {82}})^{-1/2}({\sqrt {{\sqrt {82}}+1}}+3){\bigr ]}\approx 0.370664951152024075624432522177568657151868089959747395750974\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec41e00c4c6492d95e6382bfaa1e9be6fa9a3f1b)
![{\displaystyle q{\bigl [}(2\,c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}})^{-1/2}({\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c){\bigr ]}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d31f8c23fd292956b3857995e0ebd91e1da3b832)
![{\displaystyle =\exp {\biggl \{}-\pi {\biggl [}\int _{0}^{1}2{\bigl (}z^{4}+2c{\sqrt {2{\sqrt {c^{4}+1}}-2c^{2}}}\,z^{2}+1{\bigr )}^{-1/2}\,\mathrm {d} z{\biggr ]}\div {\biggl [}\int _{0}^{1}2{\bigl (}z^{4}-2c{\sqrt {2{\sqrt {c^{4}+1}}-2c^{2}}}\,z^{2}+1{\bigr )}^{-1/2}\,\mathrm {d} z{\biggr ]}{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a67caf01791b94991f61cb5fd9b9f068eeeba2)